MediaWiki-API-Ergebnis

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                        "*": "F\u00fcr <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \\in \\mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \\in \\mathbb{N}_{\\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math>\n\n'''Beweis:''' Aus <math>b^n = (c^{kq}-a^{mr})\\left(\\tilde{c}^{k\\acute{q}} + \\tilde{a}^{m\\acute{r}}\\right) = c^k - a^m + c^{kq} \\tilde{a}^{m\\acute{r}} - \\tilde{c}^{k\\acute{q}} a^{mr}</math> folgt, dass die Funktion <math>f(q,r) := c^{k(\\hat{q}-1)} - a^{m(\\hat{r}-1)} = 0</math> stetig in <math>q, r \\in {}^{\\omega} \\mathbb{R}_{>0}</math> ist und insbesondere die L\u00f6sung <math>(q_0, r_0) = \\left(\\check{1}, \\check{1}\\right)</math> besitzt. Jede weitere L\u00f6sung in Br\u00fcchen ergibt nach Potenzieren ggT<math>(a, c) > 1</math> und damit die Behauptung.<math>\\square</math>\n\n'''Folgerung''': Die Fermat-Catalan-Vermutung l\u00e4sst sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT<math>(a, b, c) > 1</math> ergibt, dass <math>a^n + b^n = c^n</math> von keinem <math>n \\in {}^{\\omega}\\mathbb{N}_{\\ge 3}</math>  f\u00fcr beliebige <math>a, b, c \\in {}^{\\omega}\\mathbb{N}^{*}</math> erf\u00fcllt wird.<math>\\square</math>\n\n== Siehe auch ==\n* [[Liste mathematischer Symbole]]\n* [[w:Andrew_Beal#Beal-Vermutung|<span class=\"wikipedia\">Beal-Vermutung</span>]]\n[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]\n\n[[en:Beal's theorem]]"
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                        "*": "'''Strassen-Algorithmus f\u00fcr eine quadratrische Matrix:'''\n\nF\u00fcr eine quadratrische [[w:Matrix (Mathematik)|<span class=\"wikipedia\">Matrix</span>]] <math>A \\in \\mathbb{C}^{n \\times n}</math> mit hinreichend gro\u00dfem <math>2^k := n, k \\in \\mathbb{N}^*</math> betr\u00e4gt die [[w:Laufzeit (Informatik)|<span class=\"wikipedia\">Laufzeit</span>]] <math>T_q(n)</math> des [[w:Strassen-Algorithmus|<span class=\"wikipedia\">Strassen-Algorithmus</span>]] f\u00fcr das [[w:Matrizenmultiplikation|<span class=\"wikipedia\">Matrixprodukt</span>]] <math>AA^T</math> circa die H\u00e4lfte von der des Originalalgorithmus in <math>\\mathcal{O}(n^{(_2 7)})</math>.\n\n'''Beweis:''' Mit <math>A := \n  \\begin{pmatrix}\n  A_{11} & A_{12} \\\\\n  A_{21} & A_{22}\n  \\end{pmatrix}</math> gilt <math>AA^T =\n  \\begin{pmatrix}\n  A_{11}A_{11}^T+A_{12}A_{12}^T & A_{11}A_{21}^T+A_{12}A_{22}^T \\\\\n  A_{21}A_{11}^T+A_{22}A_{12}^T & A_{21}A_{21}^T+A_{22}A_{22}^T\n\\end{pmatrix}</math>.\n\nDie [[w:geometrische Reihe|<span class=\"wikipedia\">geometrische Reihe</span>]] liefert die Behauptung wegen der obigen Halbierungen (s. oben rechts).\\square</math>\n\n== Siehe auch ==\n[[Liste mathematischer Symbole]]\n[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]\n\n[[en:Strassen algorithm]]"
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