Fundamentalsatz der Algebra

Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen lässt sich [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\iota) }[/math] erreichen. Da [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] holomorph ist, falls [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] angenommen wird, gilt [math]\displaystyle{ f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota) }[/math]. Die Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R}_{>0} }[/math] ergibt dann [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\iota) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Siehe auch

• Liste mathematischer Symbole
• Fundamentalsatz der Algebra