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(Satz von Green)
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== Satz des Monats ==
 
== Satz des Monats ==
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=== Satz von Green ===
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=== Großer Fermatscher Satz ===
  
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> mit einfach zusammenhängender <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A,</math> <math>{A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math> bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: A \rightarrow \mathbb{R}</math> mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen <math>\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx</math> und <math>\partial Bv/\partial By</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.</math></div>
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Für alle <math>p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}_{\ge 3}}</math> und <math>x, y, z \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> gilt stets <math>x^p + y^p \ne z^p</math> und damit für alle <math>m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 3}}</math> statt <math>p</math>.
  
 
==== Beweis: ====
 
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O. B. d. A. werde der Beweis nur für <math>A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da er für das jeweils um <math>\iota</math> gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende <math>h</math>-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}</math></div>gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von <math>\gamma</math> mit <math>dBx = 0</math> zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math><div style="text-align:center;"><math>-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square</math></div>
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Aufgrund des [[w:Kleiner fermatscher Satz|<span class="wikipedia">kleinen fermatschen Satzes</span>]] <math>\mod p</math> ist umformuliert <math>f_{akp}(n) := (2n + a - kp)^p - n^p - (n + a)^p \ne 0</math> für <math>a, k, n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> mit <math>kp &lt; n</math> zu zeigen.
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<div class="mw-collapsible-content">Aus <math>x := n, y:= n + a</math> und <math>z := 2n + a + d</math> mit <math>d \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> folgt wegen <math>z^p \equiv y, y^p \equiv y</math> und <math>z^p \equiv z</math> erst <math>d \equiv 0 \mod p</math>, dann <math>d = \pm kp</math>. Da <math>x + y = 2n + a &gt; z</math> sein muss, ist <math>f_{akp}(n)</math> angemessen gewählt.</div></div>
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Die Behauptung folgt nun durch [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktion</span>]] nach <math>n</math> wegen des Falles <math>m = 4</math><ref name="Ribenboim">[[w:Paulo Ribenboim|<span class="wikipedia">Ribenboim, Paulo</span>]]: ''Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem'' : 1979; Springer; New York; ISBN 9780387904320, S. 35 - 38.</ref> und <math>y &gt; x &gt; p</math><ref name="aaO">a. a. O., S. 226.</ref>:
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'''Induktionsanfang''' <math>(n \le p): f_{akp}(n) \ne 0</math> für alle <math>a, k</math> und <math>p</math>. Sei <math>r \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{&lt; p}}</math>.
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'''Induktionsschritt''' <math>\,(n = q + r \; \rightarrow \; n^{*} = n + p)</math>: Sei <math>f_{akp}(n^{*}) \ge 0</math>, aber <math>f_{akp}(n) &lt; 0</math>, da aufgrund des [[w:Monotone reelle Funktion|<span class="wikipedia">streng monotonen Steigens</span>]] von <math>f_{akp}(n)</math> sonst nichts zu beweisen ist.
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<div class="mw-collapsible-content">Die strenge Monotonie ergibt sich aus der (stetigen) Ableitung nach <math>n</math> mit <math>f_{akp}(n)' = p(2(2n + a - kp)^{p - 1} - n^{p - 1} - (n + a)^{p - 1}) &gt; 0</math>.</div></div>
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Es gilt <math>f_{akp}(n^{*}) = (\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv)' \ne 0</math>, da <math>(n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1}</math> nach Abspaltung des positiven Faktors nicht <math>((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)^2</math> teilt wie [[w:Polynomdivision|<span class="wikipedia">Polynomdivision</span>]] zeigt.<math>\square</math>
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<div class="mw-collapsible-content"><math>\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv = ((2n^{*} + a - kp)^{p + 1} / 2 - (n^{*})^{p + 1} - (n^{*} + a)^{p + 1})/(p + 1) + t = ((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} \pm \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})^2/(2p + 2) + t</math> mit <math>t \in {}^{\omega}{\mathbb{Q}}</math>, wobei die dritte binomische Formel <math>r^2 - s^2 = (r \pm s)^2 := (r + s)(r - s)</math> benutzt wurde. Dann ist die Ableitung nach Abspaltung des unwesentlichen <math>\hat{2}((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} + \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})/(p + 1)</math> gerade <math>(\hat{2}(2n^{*} + a - kp)^{(p - 1)/2} - \hat{2}((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)/\sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})</math>. Nach Quadrieren ergibt die erwähnte Polynomdivision <math>(n^{*})^{p - 1} + (n^{*} + a)^{p - 1} + a^2(n^{*})^{p - 1}(n^{*} + a)^{p - 1}/((n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1})</math> wie Nachrechnen durch Multiplikation bestätigt.</div></div>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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== Einzelnachweise ==
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Version vom 6. Mai 2020, 07:03 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Großer Fermatscher Satz

Für alle [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}_{\ge 3}} }[/math] und [math]\displaystyle{ x, y, z \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}} }[/math] gilt stets [math]\displaystyle{ x^p + y^p \ne z^p }[/math] und damit für alle [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 3}} }[/math] statt [math]\displaystyle{ p }[/math].

Beweis:

Aufgrund des kleinen fermatschen Satzes [math]\displaystyle{ \mod p }[/math] ist umformuliert [math]\displaystyle{ f_{akp}(n) := (2n + a - kp)^p - n^p - (n + a)^p \ne 0 }[/math] für [math]\displaystyle{ a, k, n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}} }[/math] mit [math]\displaystyle{ kp < n }[/math] zu zeigen.

Beweisdetails
Aus [math]\displaystyle{ x := n, y:= n + a }[/math] und [math]\displaystyle{ z := 2n + a + d }[/math] mit [math]\displaystyle{ d \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}} }[/math] folgt wegen [math]\displaystyle{ z^p \equiv y, y^p \equiv y }[/math] und [math]\displaystyle{ z^p \equiv z }[/math] erst [math]\displaystyle{ d \equiv 0 \mod p }[/math], dann [math]\displaystyle{ d = \pm kp }[/math]. Da [math]\displaystyle{ x + y = 2n + a > z }[/math] sein muss, ist [math]\displaystyle{ f_{akp}(n) }[/math] angemessen gewählt.

Die Behauptung folgt nun durch Induktion nach [math]\displaystyle{ n }[/math] wegen des Falles [math]\displaystyle{ m = 4 }[/math][1] und [math]\displaystyle{ y > x > p }[/math][2]:

Induktionsanfang [math]\displaystyle{ (n \le p): f_{akp}(n) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ a, k }[/math] und [math]\displaystyle{ p }[/math]. Sei [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{< p}} }[/math].

Induktionsschritt [math]\displaystyle{ \,(n = q + r \; \rightarrow \; n^{*} = n + p) }[/math]: Sei [math]\displaystyle{ f_{akp}(n^{*}) \ge 0 }[/math], aber [math]\displaystyle{ f_{akp}(n) < 0 }[/math], da aufgrund des streng monotonen Steigens von [math]\displaystyle{ f_{akp}(n) }[/math] sonst nichts zu beweisen ist.

Beweisdetails
Die strenge Monotonie ergibt sich aus der (stetigen) Ableitung nach [math]\displaystyle{ n }[/math] mit [math]\displaystyle{ f_{akp}(n)' = p(2(2n + a - kp)^{p - 1} - n^{p - 1} - (n + a)^{p - 1}) > 0 }[/math].

Es gilt [math]\displaystyle{ f_{akp}(n^{*}) = (\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv)' \ne 0 }[/math], da [math]\displaystyle{ (n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1} }[/math] nach Abspaltung des positiven Faktors nicht [math]\displaystyle{ ((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)^2 }[/math] teilt wie Polynomdivision zeigt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Beweisdetails
[math]\displaystyle{ \int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv = ((2n^{*} + a - kp)^{p + 1} / 2 - (n^{*})^{p + 1} - (n^{*} + a)^{p + 1})/(p + 1) + t = ((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} \pm \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})^2/(2p + 2) + t }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in {}^{\omega}{\mathbb{Q}} }[/math], wobei die dritte binomische Formel [math]\displaystyle{ r^2 - s^2 = (r \pm s)^2 := (r + s)(r - s) }[/math] benutzt wurde. Dann ist die Ableitung nach Abspaltung des unwesentlichen [math]\displaystyle{ \hat{2}((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} + \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})/(p + 1) }[/math] gerade [math]\displaystyle{ (\hat{2}(2n^{*} + a - kp)^{(p - 1)/2} - \hat{2}((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)/\sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}}) }[/math]. Nach Quadrieren ergibt die erwähnte Polynomdivision [math]\displaystyle{ (n^{*})^{p - 1} + (n^{*} + a)^{p - 1} + a^2(n^{*})^{p - 1}(n^{*} + a)^{p - 1}/((n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1}) }[/math] wie Nachrechnen durch Multiplikation bestätigt.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Einzelnachweise

  1. ↑ Ribenboim, Paulo: Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem : 1979; Springer; New York; ISBN 9780387904320, S. 35 - 38.
  2. ↑ a. a. O., S. 226.
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