|
|
| Zeile 2: |
Zeile 2: |
| | = Willkommen bei MWiki = | | = Willkommen bei MWiki = |
| | == Satz des Monats == | | == Satz des Monats == |
| − | === Großer Fermatscher Satz === | + | === Anzahlsatz der algebraischen Zahlen === |
| | | | |
| − | Für alle <math>p \in {}^{\omega }{\mathbb{P}_{\ge 3}}</math> und <math>x, y, z \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> gilt stets <math>x^p + y^p \ne z^p</math> und damit für alle <math>m \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{\ge 3}}</math> statt <math>p</math>.
| + | Mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math> haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad <math>m</math> und damit allgemein asymptotisch die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widehat{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right),\]wobei <math>z(m)</math> die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist. |
| | | | |
| | ==== Beweis: ==== | | ==== Beweis: ==== |
| − | Aufgrund des [[w:Kleiner fermatscher Satz|<span class="wikipedia">kleinen fermatschen Satzes</span>]] <math>\mod p</math> ist umformuliert <math>f_{akp}(n) := (2n + a - kp)^p - n^p - (n + a)^p \ne 0</math> für <math>a, k, n \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> mit <math>kp < n</math> zu zeigen.
| + | Der Fall <math>m = 1</math> erfordert nach <ref name="Scheid">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.</ref> den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> und gibt die Anzahl <math>4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1</math> der rationalen Zahlen über die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion wieder. Für <math>m > 1</math> ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit <math>\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1</math> werden durch <math>1/\zeta(\grave{m})</math> ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen <math>p</math> aller <math>(1 - {p}^{-\grave{m}})</math>, die hier Vielfache der <math>p</math> entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.<math>\square</math> |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%; overflow:auto;">
| |
| − | <div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Beweisdetails</div>
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">Aus <math>x := n, y:= n + a</math> und <math>z := 2n + a + d</math> mit <math>d \in {}^{\omega }{\mathbb{N}^{*}}</math> folgt wegen <math>z^p \equiv y, y^p \equiv y</math> und <math>z^p \equiv z</math> erst <math>d \equiv 0 \mod p</math>, dann <math>d = \pm kp</math>. Da <math>x + y = 2n + a > z</math> sein muss, ist <math>f_{akp}(n)</math> angemessen gewählt.</div></div>
| |
| − | | |
| − | Die Behauptung folgt nun durch [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktion</span>]] nach <math>n</math> wegen des Falles <math>m = 4</math><ref name="Ribenboim">[[w:Paulo Ribenboim|<span class="wikipedia">Ribenboim, Paulo</span>]]: ''Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem'' : 1979; Springer; New York; ISBN 9780387904320, S. 35 - 38.</ref> und <math>y > x > p</math><ref name="aaO">a. a. O., S. 226.</ref>:
| |
| − | | |
| − | '''Induktionsanfang''' <math>(n \le p): f_{akp}(n) \ne 0</math> für alle <math>a, k</math> und <math>p</math>. Sei <math>r \in {}^{\omega }{\mathbb{N}_{< p}}</math>.
| |
| − | | |
| − | '''Induktionsschritt''' <math>\,(n = q + r \; \rightarrow \; n^{*} = n + p)</math>: Sei <math>f_{akp}(n^{*}) \ge 0</math>, aber <math>f_{akp}(n) < 0</math>, da aufgrund des [[w:Monotone reelle Funktion|<span class="wikipedia">streng monotonen Steigens</span>]] von <math>f_{akp}(n)</math> sonst nichts zu beweisen ist.
| |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%; overflow:auto;">
| |
| − | <div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Beweisdetails</div>
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">Die strenge Monotonie ergibt sich aus der (stetigen) Ableitung nach <math>n</math> mit <math>f_{akp}(n)' = p(2(2n + a - kp)^{p - 1} - n^{p - 1} - (n + a)^{p - 1}) > 0</math>.</div></div>
| |
| − | | |
| − | Es gilt <math>f_{akp}(n^{*}) = (\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv)' \ne 0</math>, da <math>(n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1}</math> nach Abspaltung des positiven Faktors nicht <math>((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)^2</math> teilt wie [[w:Polynomdivision|<span class="wikipedia">Polynomdivision</span>]] zeigt.<math>\square</math>
| |
| − | <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%; overflow:auto;">
| |
| − | <div style="font-weight:bold;line-height:1.6;">Beweisdetails</div>
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content"><math>\int_0^{n^{*}}{f_{akp}(v)}dv = ((2n^{*} + a - kp)^{p + 1} / 2 - (n^{*})^{p + 1} - (n^{*} + a)^{p + 1})/(p + 1) + t = ((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} \pm \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})^2/(2p + 2) + t</math> mit <math>t \in {}^{\omega}{\mathbb{Q}}</math>, wobei die dritte binomische Formel <math>r^2 - s^2 = (r \pm s)^2 := (r + s)(r - s)</math> benutzt wurde. Dann ist die Ableitung nach Abspaltung des unwesentlichen <math>\hat{2}((2n^{*} + a - kp)^{(p + 1)/2} + \sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})/(p + 1)</math> gerade <math>(\hat{2}(2n^{*} + a - kp)^{(p - 1)/2} - \hat{2}((n^{*})^p + (n^{*} + a)^p)/\sqrt{2(n^{*})^{p + 1} + 2(n^{*} + a)^{p + 1}})</math>. Nach Quadrieren ergibt die erwähnte Polynomdivision <math>(n^{*})^{p - 1} + (n^{*} + a)^{p - 1} + a^2(n^{*})^{p - 1}(n^{*} + a)^{p - 1}/((n^{*})^{p + 1} + (n^{*} + a)^{p + 1})</math> wie Nachrechnen durch Multiplikation bestätigt.</div></div>
| |
| | | | |
| | == Leseempfehlung == | | == Leseempfehlung == |
Willkommen bei MWiki
Satz des Monats
Anzahlsatz der algebraischen Zahlen
Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl\[\mathbb{A}(m, n) = \widehat{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right),\]wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.
Beweis:
Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Leseempfehlung
Nichtstandardmathematik
Einzelnachweise