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| − | Durchläuft der Weg <math>\gamma: [a, b[ \; \cap C \rightarrow V</math> mit <math>C \subseteq \mathbb{R}</math> die Kanten aller <math>n</math>-Würfel mit der Seitenlänge d0 im <math>n</math>-Volumen <math>V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_{\ge 2}</math> genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der <math>n</math>-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für <math>D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x</math> und <math>{V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}</math> | + | Durchläuft der Weg <math>\gamma: [a, b[ \; \cap \; C \rightarrow V</math> mit <math>C \subseteq \mathbb{R}</math> die Kanten aller <math>n</math>-Würfel mit der Seitenlänge d0 im <math>n</math>-Volumen <math>V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_{\ge 2}</math> genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der <math>n</math>-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für <math>D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x</math> und <math>{V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}</math> |
| − | <div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.</math></div> | + | <div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap \; C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap \; C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.</math></div> |
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Version vom 1. August 2020, 04:59 Uhr
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Satz des Monats
Gegenläufigkeitssatz
Durchläuft der Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[ \; \cap \; C \rightarrow V }[/math] mit [math]\displaystyle{ C \subseteq \mathbb{R} }[/math] die Kanten aller [math]\displaystyle{ n }[/math]-Würfel mit der Seitenlänge d0 im [math]\displaystyle{ n }[/math]-Volumen [math]\displaystyle{ V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der [math]\displaystyle{ n }[/math]-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für [math]\displaystyle{ D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x }[/math] und [math]\displaystyle{ {V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\} }[/math]
Beweis:
Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von [math]\displaystyle{ V\times{V}_{\curvearrowright} }[/math] nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in [math]\displaystyle{ {\partial}^{\acute{n}}V.\square }[/math]