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K (Gegenläufigkeitssatz)
(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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=== Gegenläufigkeitssatz ===
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=== Größte-Primzahl-Kriterium ===
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Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung <math>\widehat{ap}b \pm \hat{s}t</math> mit natürlichen <math>a, b, s</math> und <math>t, abst \ne 0</math> und <math>a + s &gt; 2</math> sowie der (zweit-) größten Primzahl <math>p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b</math> und <math>p \nmid s</math>, so ist sie <math>\omega</math>-transzendent.
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Durchläuft der Weg <math>\gamma: [a, b[ \; \cap \; C \rightarrow V</math> mit <math>C \subseteq \mathbb{R}</math> die Kanten aller <math>n</math>-Würfel mit der Seitenlänge d0 im <math>n</math>-Volumen <math>V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}</math> mit <math>n \in \mathbb{N}_{\ge 2}</math> genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der <math>n</math>-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für <math>D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x</math> und <math>{V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}</math>
 
  
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==== Beweis: ====
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Der Nenner von <math>\widehat{aps} (bs \pm apt)</math> ist <math>\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) &gt; \omega</math> aufgrund des Primzahlsatzes.<math>\square </math>
  
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap \; C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap \; C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.</math></div>
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=== Transzendenz der Eulerschen Konstante ===
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Mit <math>s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}</math> für <math>x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> sei die Eulersche Konstante <math>\gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx}</math>, wobei Umsummieren <math>\gamma \in \; ]0, 1[</math> zeigt.
  
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Wird <math>{_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega</math> akzeptiert, so gilt <math>\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)</math> genau.
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von <math>V\times{V}_{\curvearrowright}</math> nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in <math>{\partial}^{\acute{n}}V.\square</math>
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Die exakte Integration macht <math>-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx</math> für <math>x \in [-1, 1 - \hat{\nu}]</math> und <math>t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> aus der geometrischen Reihe.
  
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Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von <math>\hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)</math> für <math>p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}</math> angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.<math>\square</math>
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Version vom 5. September 2020, 10:58 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Größte-Primzahl-Kriterium

Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung [math]\displaystyle{ \widehat{ap}b \pm \hat{s}t }[/math] mit natürlichen [math]\displaystyle{ a, b, s }[/math] und [math]\displaystyle{ t, abst \ne 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ a + s > 2 }[/math] sowie der (zweit-) größten Primzahl [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b }[/math] und [math]\displaystyle{ p \nmid s }[/math], so ist sie [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-transzendent.

Beweis:

Der Nenner von [math]\displaystyle{ \widehat{aps} (bs \pm apt) }[/math] ist [math]\displaystyle{ \ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega }[/math] aufgrund des Primzahlsatzes.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Transzendenz der Eulerschen Konstante

Mit [math]\displaystyle{ s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}} }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] sei die Eulersche Konstante [math]\displaystyle{ \gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx} }[/math], wobei Umsummieren [math]\displaystyle{ \gamma \in \; ]0, 1[ }[/math] zeigt.

Wird [math]\displaystyle{ {_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega }[/math] akzeptiert, so gilt [math]\displaystyle{ \gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}} }[/math] auf [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega) }[/math] genau.

Beweis:

Die exakte Integration macht [math]\displaystyle{ -{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in [-1, 1 - \hat{\nu}] }[/math] und [math]\displaystyle{ t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] aus der geometrischen Reihe.

Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von [math]\displaystyle{ \hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega) }[/math] für [math]\displaystyle{ p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P} }[/math] angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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