Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante)
(Kubensatz und Satz von Fickett)
Zeile 2: Zeile 2:
 
= Willkommen bei MWiki =
 
= Willkommen bei MWiki =
 
== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
−
=== Größte-Primzahl-Kriterium ===
+
=== Kubensatz ===
−
Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung <math>\widehat{ap}b \pm \hat{s}t</math> mit natürlichen <math>a, b, s</math> und <math>t, abst \ne 0</math> und <math>a + s &gt; 2</math> sowie der (zweit-) größten Primzahl <math>p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b</math> und <math>p \nmid s</math>, so ist sie <math>\omega</math>-transzendent.
+
Mit <math>a, b, c, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> besteht <math>m \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> genau dann aus einer Summe von drei Kuben, wenn
  
−
==== Beweis: ====
+
<div style="text-align:center;"><math>m=n^3 + (n + a)^3 + (n - b)^3 = 3n^3 + a - b+ 6c \ne \pm 4\mod 9</math></div>
−
Der Nenner von <math>\widehat{aps} (bs \pm apt)</math> ist <math>\ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) &gt; \omega</math> aufgrund des Primzahlsatzes.<math>\square </math>
+
 
 +
gilt. Diese implizit quadratische Gleichung liefert die für <math>n</math> zu erfüllende Formel.<math>\square</math></div>
 +
 
 +
=== Satz von Fickett ===
 +
Für jede Lage zweier überlappender kongruenter <math>n</math>-Quader <math>Q</math> und <math>R</math> mit <math>n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}</math> und dem exakten Standardmaß <math>\mu</math> gilt, wobei <math>\mu</math> für <math>n = 2</math> durch die euklidische Weglänge <math>L</math> zu ersetzen ist:
  
−
=== Transzendenz der Eulerschen Konstante ===
 
−
Mit <math>s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}}</math> für <math>x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> sei die Eulersche Konstante <math>\gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx}</math>, wobei Umsummieren <math>\gamma \in \; ]0, 1[</math> zeigt.
 
  
−
Wird <math>{_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega</math> akzeptiert, so gilt <math>\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega)</math> genau.
+
<div style="text-align:center;"><math>1/(2n - 1) &lt; r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) &lt; 2n - 1.</math></div>
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
−
Die exakte Integration macht <math>-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx</math> für <math>x \in [-1, 1 - \hat{\nu}]</math> und <math>t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> aus der geometrischen Reihe.
+
Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen <math>s</math> und <math>s + 2d0</math> hat, gilt min <math>r = s/(3s - 2d0) \le r \le</math> max <math>r = (3s - 2d0)/s</math>. Der Beweis für <math>n &gt; 2</math> erfolgt analog.<math>\square</math>
−
 
 
−
Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von <math>\hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)</math> für <math>p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}</math> angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.<math>\square</math>
 
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Version vom 2. Oktober 2020, 15:05 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Kubensatz

Mit [math]\displaystyle{ a, b, c, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] besteht [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] genau dann aus einer Summe von drei Kuben, wenn

[math]\displaystyle{ m=n^3 + (n + a)^3 + (n - b)^3 = 3n^3 + a - b+ 6c \ne \pm 4\mod 9 }[/math]

gilt. Diese implizit quadratische Gleichung liefert die für [math]\displaystyle{ n }[/math] zu erfüllende Formel.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Fickett

Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] durch die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ L }[/math] zu ersetzen ist:


[math]\displaystyle{ 1/(2n - 1) < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < 2n - 1. }[/math]

Beweis:

Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + 2d0 }[/math] hat, gilt min [math]\displaystyle{ r = s/(3s - 2d0) \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = (3s - 2d0)/s }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] erfolgt analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Abgerufen von „https://de.mwiki.de/index.php?title=Hauptseite&oldid=155“