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(Kubensatz und Satz von Fickett)
(EW-Verfahren)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Sätze des Monats ==
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== Satz des Monats ==
=== Kubensatz ===
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=== EW-Verfahren ===
Mit <math>a, b, c, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> besteht <math>m \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> genau dann aus einer Summe von drei Kuben, wenn
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Ist das lineare Gleichungssystems (LGS) <math>Ax = b \in  {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^*</math> eindeutig lösbar, berechnet das ''Einheitswurzelverfahren (EW-Verfahren)'' <math>x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> für <math>A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n}</math> in <math>\mathcal{O}(n^2)</math>.
  
<div style="text-align:center;"><math>m=n^3 + (n + a)^3 + (n - b)^3 = 3n^3 + a - b+ 6c \ne \pm 4\mod 9</math></div>
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=== Beweis und Algorithmus ===
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Seien <math>R_1 := (r_{1jk}) = (r_{1kj}) = R_1^T \in {}^{\nu}\mathbb{C}^{n \times n}, n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, r_{11k} := 1</math> und für <math>j &gt; 1</math> sowie <math>n_{jk} := j + k - 3</math> sowohl <math>r_{1kj} := \hat{n}e^{i\tau n_{jk}/n}</math> mit  <math>n_{jk} &lt; n</math> als auch <math>r_{1kj} := \hat{n}e^{i\tau(n_{jk} - \acute{n})/n}</math> mit <math>n_{jk} \ge n</math>. Durch Vertauschung der ersten Zeile bzw. Spalte mit der <math>j</math>-ten und entsprechender Vertauschung der übrigen Zeilen und Spalten entstehen die Matrizen <math>R_j = R_j^T</math> mit <math>j &gt; 1</math>. Es gilt offenbar rg<math>(R_j) = n</math> für alle <math>j</math>. Folgt <math>x_j = 1</math> für alle <math>j</math> aus <math>A(x - x^\prime) = (1 - x_j, ..., 1 - x_j)^T</math> und <math>Ax^\prime = b</math>, so ist höchstwahrscheinlich rg<math>(A) = n</math>.
  
gilt. Diese implizit quadratische Gleichung liefert die für <math>n</math> zu erfüllende Formel.<math>\square</math></div>
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Folgt <math>a_{jk} \le 0</math> für mindestens ein Paar <math>(j, k)</math> aus <math>A := (a_{jk})</math>, so werden die Summe <math>s_0 := \sum\limits_{j=1}^m{b_j\varepsilon^j}</math> mit einer beliebigen transzendenten Zahl <math>\varepsilon</math> und <math>s_k := \sum\limits_{j=1}^m{a_{jk}\varepsilon^j} \ne 0</math> für alle <math>k</math> gebildet. Für <math>s_k &lt; 0</math> wird <math>x_k</math> durch <math>-x_k</math> ersetzt. Dann wird ein Vielfaches von <math>s^Tx</math> bzw. <math>s_0</math> zu <math>Ax = b</math> addiert, sodass nunmehr <math>a_{jk} > 0</math> für alle <math>j, k</math> gilt. Mit <math>D_j := (d_{jk}), d_{jk} = \delta_{jk}/\prod\limits_{m=1}^n{a_{jm}}</math> und <math>C_j := D_j R_j = (c_{jk})</math> folgt <math>x_j^\prime = (AC_jx^\prime)_j = (C_jb)_j</math>. Gilt jedoch <math>x_j^\prime = 0 \ne b_j</math> für ein <math>j</math>, ist das LGS nicht lösbar. Die Übertragung ins Komplexe ist einfach.<math>\square</math>
 
 
=== Satz von Fickett ===
 
Für jede Lage zweier überlappender kongruenter <math>n</math>-Quader <math>Q</math> und <math>R</math> mit <math>n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}</math> und dem exakten Standardmaß <math>\mu</math> gilt, wobei <math>\mu</math> für <math>n = 2</math> durch die euklidische Weglänge <math>L</math> zu ersetzen ist:
 
 
 
 
 
<div style="text-align:center;"><math>1/(2n - 1) &lt; r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) &lt; 2n - 1.</math></div>
 
==== Beweis: ====
 
Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen <math>s</math> und <math>s + 2d0</math> hat, gilt min <math>r = s/(3s - 2d0) \le r \le</math> max <math>r = (3s - 2d0)/s</math>. Der Beweis für <math>n &gt; 2</math> erfolgt analog.<math>\square</math>
 
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Version vom 3. November 2020, 17:51 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

EW-Verfahren

Ist das lineare Gleichungssystems (LGS) [math]\displaystyle{ Ax = b \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^* }[/math] eindeutig lösbar, berechnet das Einheitswurzelverfahren (EW-Verfahren) [math]\displaystyle{ x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} }[/math] für [math]\displaystyle{ A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n} }[/math] in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].

Beweis und Algorithmus

Seien [math]\displaystyle{ R_1 := (r_{1jk}) = (r_{1kj}) = R_1^T \in {}^{\nu}\mathbb{C}^{n \times n}, n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, r_{11k} := 1 }[/math] und für [math]\displaystyle{ j > 1 }[/math] sowie [math]\displaystyle{ n_{jk} := j + k - 3 }[/math] sowohl [math]\displaystyle{ r_{1kj} := \hat{n}e^{i\tau n_{jk}/n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n_{jk} < n }[/math] als auch [math]\displaystyle{ r_{1kj} := \hat{n}e^{i\tau(n_{jk} - \acute{n})/n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n_{jk} \ge n }[/math]. Durch Vertauschung der ersten Zeile bzw. Spalte mit der [math]\displaystyle{ j }[/math]-ten und entsprechender Vertauschung der übrigen Zeilen und Spalten entstehen die Matrizen [math]\displaystyle{ R_j = R_j^T }[/math] mit [math]\displaystyle{ j > 1 }[/math]. Es gilt offenbar rg[math]\displaystyle{ (R_j) = n }[/math] für alle [math]\displaystyle{ j }[/math]. Folgt [math]\displaystyle{ x_j = 1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ j }[/math] aus [math]\displaystyle{ A(x - x^\prime) = (1 - x_j, ..., 1 - x_j)^T }[/math] und [math]\displaystyle{ Ax^\prime = b }[/math], so ist höchstwahrscheinlich rg[math]\displaystyle{ (A) = n }[/math].

Folgt [math]\displaystyle{ a_{jk} \le 0 }[/math] für mindestens ein Paar [math]\displaystyle{ (j, k) }[/math] aus [math]\displaystyle{ A := (a_{jk}) }[/math], so werden die Summe [math]\displaystyle{ s_0 := \sum\limits_{j=1}^m{b_j\varepsilon^j} }[/math] mit einer beliebigen transzendenten Zahl [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] und [math]\displaystyle{ s_k := \sum\limits_{j=1}^m{a_{jk}\varepsilon^j} \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ k }[/math] gebildet. Für [math]\displaystyle{ s_k < 0 }[/math] wird [math]\displaystyle{ x_k }[/math] durch [math]\displaystyle{ -x_k }[/math] ersetzt. Dann wird ein Vielfaches von [math]\displaystyle{ s^Tx }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] zu [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] addiert, sodass nunmehr [math]\displaystyle{ a_{jk} \gt 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ j, k }[/math] gilt. Mit [math]\displaystyle{ D_j := (d_{jk}), d_{jk} = \delta_{jk}/\prod\limits_{m=1}^n{a_{jm}} }[/math] und [math]\displaystyle{ C_j := D_j R_j = (c_{jk}) }[/math] folgt [math]\displaystyle{ x_j^\prime = (AC_jx^\prime)_j = (C_jb)_j }[/math]. Gilt jedoch [math]\displaystyle{ x_j^\prime = 0 \ne b_j }[/math] für ein [math]\displaystyle{ j }[/math], ist das LGS nicht lösbar. Die Übertragung ins Komplexe ist einfach.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik