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Satz des Monats

EW-Verfahren

Ist das lineare Gleichungssystems (LGS) [math]\displaystyle{ Ax = b \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^* }[/math] eindeutig lösbar, berechnet das Einheitswurzelverfahren (EW-Verfahren) [math]\displaystyle{ x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} }[/math] für [math]\displaystyle{ A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n} }[/math] in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(n^2) }[/math].

Beweis und Algorithmus

Seien [math]\displaystyle{ R_1 := (r_{1jk}) = (r_{1kj}) = R_1^T \in {}^{\nu}\mathbb{C}^{n \times n}, n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, r_{11k} := 1 }[/math] und für [math]\displaystyle{ j > 1 }[/math] sowie [math]\displaystyle{ n_{jk} := j + k - 3 }[/math] sowohl [math]\displaystyle{ r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau n_{jk}/n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n_{jk} < n }[/math] als auch [math]\displaystyle{ r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau(n_{jk} - \acute{n})/n} }[/math] mit [math]\displaystyle{ n_{jk} \ge n }[/math]. Durch Vertauschung der ersten Zeile bzw. Spalte mit der [math]\displaystyle{ j }[/math]-ten und entsprechender Vertauschung der übrigen Zeilen und Spalten entstehen die Matrizen [math]\displaystyle{ R_j = R_j^T }[/math] mit [math]\displaystyle{ j > 1 }[/math]. Es gilt offenbar rg[math]\displaystyle{ (R_j) = n }[/math] für alle [math]\displaystyle{ j }[/math]. Folgt [math]\displaystyle{ x_j = 1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ j }[/math] aus [math]\displaystyle{ A(x - x^\prime) = (1 - x_j, ..., 1 - x_j)^T }[/math] und [math]\displaystyle{ Ax^\prime = b }[/math], so ist höchstwahrscheinlich rg[math]\displaystyle{ (A) = n }[/math].

Folgt [math]\displaystyle{ a_{jk} \le 0 }[/math] für mindestens ein Paar [math]\displaystyle{ (j, k) }[/math] aus [math]\displaystyle{ A := (a_{jk}) }[/math], so werden die Summe [math]\displaystyle{ s_0 := \sum\limits_{j=1}^m{b_j\varepsilon^j} }[/math] mit einer beliebigen transzendenten Zahl [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] und [math]\displaystyle{ s_k := \sum\limits_{j=1}^m{a_{jk}\varepsilon^j} \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ k }[/math] gebildet. Für [math]\displaystyle{ s_k < 0 }[/math] wird [math]\displaystyle{ x_k }[/math] durch [math]\displaystyle{ -x_k }[/math] ersetzt. Dann wird ein Vielfaches von [math]\displaystyle{ s^Tx }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ s_0 }[/math] zu [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math] addiert, sodass nunmehr [math]\displaystyle{ a_{jk} \gt 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ (j, k) }[/math] gilt. Mit [math]\displaystyle{ D_j := (d_{jk}), d_{jk} = \delta_{jk}/\prod\limits_{m=1}^n{a_{jm}} }[/math] und [math]\displaystyle{ C_j := D_j R_j = (c_{jk}) }[/math] folgt [math]\displaystyle{ x_j^\prime = (AC_jx^\prime)_j = (C_jb)_j }[/math] für das Kronecker-Delta [math]\displaystyle{ \delta_{jk} }[/math]. Gilt jedoch [math]\displaystyle{ x_j^\prime = 0 \ne b_j }[/math] für ein [math]\displaystyle{ j }[/math], ist das LGS nicht lösbar.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Bemerkung: Die Erweiterung auf komplexe Zahlen sowie über- bzw. unterbestimmte LGS ist einfach.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik