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K (EW-Verfahren)
(Hauptsätze)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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=== EW-Verfahren ===
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Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion <math>F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[C</math>, bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x)</math>, exakt <math>B</math>-differenzierbar und es gilt für alle <math>x \in [a, b[C</math> und <math>z = \gamma(x)</math>
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Satz: Ist <math>A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n}</math> in dem linearen Gleichungssystem (LGS) <math>Ax = b \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^*</math> regulär, berechnet das ''Einheitswurzelverfahren (<math>EW</math>-Verfahren)'' <math>x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> in <math>\mathcal{O}(n^2)</math>..
 
  
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=== Beweis und Algorithmus ===
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<div style="text-align:center;"><math>F' \curvearrowright B(z) = f(z).</math></div>
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Seien <math>R_1 := (r_{1jk}) = (r_{1kj}) = R_1^T \in {}^{\nu}\mathbb{C}^{n \times n}, n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, r_{11k} := 1</math> und für <math>j &gt; 1</math> sowie <math>n_{jk} := j + k - 3</math> sowohl <math>r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau n_{jk}/n}</math> mit  <math>n_{jk} &lt; n</math> als auch <math>r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau(n_{jk} - \acute{n})/n}</math> mit <math>n_{jk} \ge n</math>. Durch Vertauschung der ersten Zeile bzw. Spalte mit der <math>j</math>-ten und entsprechender Vertauschung der übrigen Zeilen und Spalten entstehen die Matrizen <math>R_j = R_j^T</math> mit <math>j &gt; 1</math>. Sei <math>\delta_{jk}</math> das Kronecker-Delta und <math>A := (a_{jk})</math>.
 
  
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Folgt <math>a_{jk} \le 0</math> für mindestens ein Paar <math>(j, k)</math>, so werden die Summe <math>s_0 := \sum\limits_{j=1}^m{b_j\varepsilon^j}</math> mit einer beliebigen transzendenten Zahl <math>\varepsilon</math> und <math>s_k := \sum\limits_{j=1}^m{a_{jk}\varepsilon^j} \ne 0</math> für alle <math>k</math> gebildet. Für <math>s_k &lt; 0</math> wird <math>x_k</math> durch <math>-x_k</math> ersetzt. Ein Vielfaches von <math>s^Tx</math> bzw. <math>s_0</math> wird so zu <math>Ax = b</math> addiert, dass <math>a_{jk} > 0</math> für alle <math>(j, k)</math> gilt. O. B. d. A. sei <math>b_j = 1</math> für alle <math>j</math>. Für <math>D_j := (d_{jk}), d_{jk} = \delta_{jk}⁄a_{jk}, C_j := D_j R_j</math> und <math>x_k^{(0)} := \hat{n}/ \max_j a_{jk}</math> sei <math>x^{(\grave{m})} = x^{(m)} + C_j^{-1}(b - Ax^{\prime(m)}).\square</math>
 
  
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=== Korollar ===
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Beweis: <math>dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square</math>
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Das EW-Verfahren kann jeden Eigenwert und -vektor von <math>Ax = \lambda x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} + {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> für <math>n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, \lambda \in {}^{\nu}\mathbb{Q}+ {i}^{\nu}\mathbb{Q}</math> und <math>A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n}</math> mit dem Ansatz <math>x^{\prime(\grave{m})} = C_j^{-1}AC_j x^{\prime(m)}</math> in <math>\mathcal{O}(n^2)</math> bestimmen.<math>\square</math>
 
  
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'''Bemerkung:''' Die Erweiterung auf komplexe <math>A</math> und <math>b</math> ist einfach. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz konvergiert das <math>EW</math>-Verfahren für jedes reguläre LGS linear.
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Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit <math>\gamma: [a, b[C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math>
  
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== Leseempfehlung ==
 
  
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<div style="text-align:center;"><math> F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.</math></div>
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Beweis: <math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square</math>
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== Leseempfehlungen ==
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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Version vom 23. November 2020, 20:06 Uhr

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Sätze des Monats

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion [math]\displaystyle{ F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta } }[/math] ist mit [math]\displaystyle{ \gamma: [d, x[C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[C }[/math], bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x) }[/math], exakt [math]\displaystyle{ B }[/math]-differenzierbar und es gilt für alle [math]\displaystyle{ x \in [a, b[C }[/math] und [math]\displaystyle{ z = \gamma(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ F' \curvearrowright B(z) = f(z). }[/math]


Beweis: [math]\displaystyle{ dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square }[/math]

Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K} }[/math]


[math]\displaystyle{ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }. }[/math]


Beweis: [math]\displaystyle{ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square }[/math]

Leseempfehlungen

Nichtstandardmathematik

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