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(Intexverfahren)
(Cauchyscher Integralsatz und Fundamentalsatz der Algebra)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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=== Cauchyscher Integralsatz ===
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Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
 
  
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== Beweis und Algorithmus ==
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> und <math>D \subseteq [a, b]</math> mit einer einfach zusammenhängenden <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>, infinitesimalem <math>h</math> sowie einer holomorphen Funktion <math>f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C}</math> und einem geschlossenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math>, wenn wir <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> mit <math>t \in [a, b[</math> wählen, gilt
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Zuerst werden <math>{b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> sowie <math>{A}^{T}y \ge c</math> normiert und skaliert. Die <em>Höhe</em> <math>h</math> habe den Startwert <math>h_0 := s |\min \; \{b_1, ..., b_m, -d_1, ..., -d_n\}|</math> mit dem <em>Steigerungsfaktor</em> <math>s \in \, ]1, 2]</math>.</br>
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.</math></div>
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Das LP min <math>\{h \in [0, h_0] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m},{b}^{T}y - {c}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, c - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> hat <math>k</math> Restriktionen und den zulässigen inneren Startpunkt <math>(x_0, y_0, h_0/s)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>(0, 0, h_0/s)^{T}</math>. Es identifiziert die zueinander dualen LPs max <math>\{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\}</math>.
 
  
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Der Punkt <math>p := (x, y, h)^T</math> approximiere den Schwerpunkt des Teilpolytops <math>P^*</math> zu <math>p_k^* := (\min p_k + \max p_k)/2</math>, bis <math>{|| \Delta p ||}_{1}</math> hinreichend klein ist. Hier hat <math>x</math> Vorrang vor <math>y</math>. Dann wird <math>p</math> über <math>{p}^{*}</math> in <math>\partial P^*</math> als <math>u</math> extrapoliert. Mit <math>p := p^* + (u - p^*)/s</math> wird <math>\partial P^*</math> gemieden. Darauf wird <math>p</math> tiefer erneut als Schwerpunkt approximiert. Nach optionalem Lösen aller LPs min<math>{}_{k} {h}_{k}</math> durch Bisektionsverfahren für <math>{h}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> in jeweils <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{2})</math> lässt sich <math>v \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{k}</math> mit <math>v_k := \Delta{p}_{k} \Delta{h}_{k}/r</math> und <math>r :=</math> min<math>{}_{k} \Delta{h}_{k}</math> ermitteln. Vereinfacht sei <math>|\Delta{p}_{1}| = ... = |\Delta{p}_{m+n}|</math>.
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'''Beweis:''' Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit <math>x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f</math> und <math>{A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\}</math>
  
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Hierbei wäre min <math>{h}_{m+n+1}</math> für <math>p^* := p + tv</math> mit <math>t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> und <math>{v}_{m+n+1} = 0</math> ebenso zu lösen. Folgt min<math>{}_{k} {h}_{k} r = 0</math>, wird aufgehört, andernfalls wiederholt, bis min <math>h = 0</math> oder min <math>h &gt; 0</math> feststeht.</br>
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square</math></div>
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Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt. Da fast jeder Durchlauf <math>h</math> in <math>\mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2})</math> wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.<math>\square</math>
 
  
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== Leseempfehlung ==
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=== Fundamentalsatz der Algebra ===
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Für jedes nicht-konstante Polynom <math>p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> gibt es ein <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> mit <math>p(z) = 0</math>.
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'''Indirekter Beweis:''' Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich <math>1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0})</math> erreichen. Die Annahme von <math>p(z) \ne 0</math> für alle <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> ergibt für das holomorphe <math>f(z) := 1/p(z)</math> gilt <math>f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0})</math>.
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Aufgrund der Mittelwertungleichung <math>|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}</math> gilt mit <math>\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)</math> und beliebigem <math>r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{&gt;0}</math>, also <math>f(0) = \mathcal{O}(\text{d0})</math> im Widerspruch zur Voraussetzung.<math>\square</math>
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== Leseempfehlungen ==
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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Version vom 1. Februar 2021, 05:14 Uhr

Willkommen bei MWiki

Cauchyscher Integralsatz

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ D \subseteq [a, b] }[/math] mit einer einfach zusammenhängenden [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie einer holomorphen Funktion [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] und einem geschlossenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math], wenn wir [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math] wählen, gilt

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0. }[/math]

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square }[/math]

Fundamentalsatz der Algebra

Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] erreichen. Die Annahme von [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] ergibt für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] gilt [math]\displaystyle{ f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math].

Aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math], also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlungen

Nichtstandardmathematik

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