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K (→‎Fundamentalsatz der Algebra)
(Leibnizsche Differentiationsregel)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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=== Cauchyscher Integralsatz ===
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== Satz des Monats ==
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=== Leibnizsche Differentiationsregel ===
  
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> und <math>D \subseteq [a, b]</math> mit einer einfach zusammenhängenden <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>, infinitesimalem <math>h</math> sowie einer holomorphen Funktion <math>f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C}</math> und einem geschlossenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math>, wenn wir <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> mit <math>t \in [a, b[</math> wählen, gilt
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Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n+1} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}</math> und <math>s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}</math> gilt bei Wahl von <math>\curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x)</math> und <math>\curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x)</math>,<div style="text-align:center;"><math>\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.</math></div>
 
  
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'''Beweis:''' Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit <math>x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f</math> und <math>{A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\}</math>
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==== Beweis: ====
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<div style="text-align:center;"><math>\begin{aligned}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right) &amp;={\left( \int\limits_{a(\curvearrowright Bx)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\;={\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright Bx,t)-f(x,t))dDt}+\int\limits_{b(x)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{a(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\; \\ &amp;=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\square\end{aligned}</math></div>
  
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<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square</math></div>
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== Leseempfehlung ==
  
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=== Fundamentalsatz der Algebra ===
 
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Für jedes nicht-konstante Polynom <math>p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> gibt es ein <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> mit <math>p(z) = 0</math>.
 
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'''Indirekter Beweis:''' Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich <math>1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0})</math> erreichen. Die Annahme von <math>p(z) \ne 0</math> für alle <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> ergibt für das holomorphe <math>f(z) := 1/p(z)</math> wegen <math>f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0})</math>.
 
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Aufgrund der Mittelwertungleichung <math>|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}</math> gilt mit <math>\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)</math> und beliebigem <math>r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{&gt;0}</math> also <math>f(0) = \mathcal{O}(\text{d0})</math> im Widerspruch zur Voraussetzung.<math>\square</math>
 
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== Leseempfehlungen ==
 
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
  
 
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Version vom 10. März 2021, 04:53 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Leibnizsche Differentiationsregel

Für [math]\displaystyle{ f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n+1} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T} }[/math] und [math]\displaystyle{ s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\} }[/math] gilt bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x) }[/math] und [math]\displaystyle{ \curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x) }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)). }[/math]

Beweis:

[math]\displaystyle{ \begin{aligned}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right) &={\left( \int\limits_{a(\curvearrowright Bx)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\;={\left( \int\limits_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright Bx,t)-f(x,t))dDt}+\int\limits_{b(x)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt}-\int\limits_{a(x)}^{a(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t)dDt} \right)}/{\partial {{x}_{1}}}\; \\ &=\int\limits_{a(x)}^{b(x)}{\frac{\partial f(x,t)}{\partial {{x}_{1}}}dDt}+\frac{\partial b(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\frac{\partial a(x)}{\partial {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\square\end{aligned} }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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