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| − | + | Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(D)</math> um 0 auf dem Gebiet <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = (f - f_n^*)/2</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math> | |
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| + | Mit <math>\mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}.</math></div> | ||
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| − | < | + | Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math> |
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== Leseempfehlung == | == Leseempfehlung == | ||
Version vom 1. April 2021, 02:38 Uhr
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Definition
Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = (f - f_n^*)/2 }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]
Beschleunigungssatz für Integrale
Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]
Beschleunigungssatz für Ableitungen
Mit [math]\displaystyle{ \mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe
[math]\displaystyle{ b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]
Beweis:
Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Einzelnachweis
- ↑ Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.