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(Beschleunigungssätze)
(Satz von Green)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Sätze des Monats ==
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== Satz des Monats ==
=== Definition ===
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=== Satz von Green ===
  
Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(D)</math> um 0 auf dem Gebiet <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = (f - f_n^*)/2</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math>
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> mit einfach zusammenhängender <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A,</math> <math>{A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math> bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: A \rightarrow \mathbb{R}</math> mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen <math>\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx</math> und <math>\partial Bv/\partial By</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.</math></div>
 
 
=== Beschleunigungssatz für Integrale ===
 
 
 
Die Taylorreihe (s. u.) <math>f(z) \in \mathcal{O}(D)</math> um 0 auf <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergibt mit <math>\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_0^z...\int\limits_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1)\text{d}\zeta_1\;...\;\text{d}\zeta_n} = \widehat{n!} f(z\mu_n) z^n.\square</math></div>
 
 
 
=== Beschleunigungssatz für Ableitungen ===
 
 
 
Mit <math>\mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset  D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{&gt;0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}.</math></div>
 
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math>
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O. B. d. A. werde der Beweis nur für <math>A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da er für das jeweils um <math>\iota</math> gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende <math>h</math>-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}</math></div>gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von <math>\gamma</math> mit <math>dBx = 0</math> zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math><div style="text-align:center;"><math>-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square</math></div>
 
 
== Einzelnachweis ==
 
<references />
 
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Version vom 1. Mai 2021, 03:20 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Satz von Green

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] mit einfach zusammenhängender [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A, }[/math] [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: A \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen [math]\displaystyle{ \partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial Bv/\partial By }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}. }[/math]

Beweis:

O. B. d. A. werde der Beweis nur für [math]\displaystyle{ A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da er für das jeweils um [math]\displaystyle{ \iota }[/math] gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)} }[/math]

gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ dBx = 0 }[/math] zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem [math]\displaystyle{ t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r))) }[/math]

[math]\displaystyle{ -\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik