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(Intexverfahren)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
 
  
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== Beweis und Algorithmus ==
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=== Universelles Mehrschrittverfahren ===
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Zuerst werden <math>{b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> sowie <math>{A}^{T}y \ge c</math> normiert und skaliert. Die <em>Höhe</em> <math>h</math> habe den Startwert <math>h_0 := s |\min \; \{b_1, ..., b_m, -d_1, ..., -d_n\}|</math> mit dem <em>Steigerungsfaktor</em> <math>s \in \, ]1, 2]</math>.</br>
 
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Das LP min <math>\{h \in [0, h_0] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m},{b}^{T}y - {c}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, c - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> hat <math>k</math> Restriktionen und den zulässigen inneren Startpunkt <math>(x_0, y_0, h_0/s)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>(0, 0, h_0/s)^{T}</math>. Es identifiziert die zueinander dualen LPs max <math>\{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\}</math>.
 
  
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Der Punkt <math>p := (x, y, h)^T</math> approximiere den Schwerpunkt des Teilpolytops <math>P^*</math> zu <math>p_k^* := (\min p_k + \max p_k)/2</math>, bis <math>{|| \Delta p ||}_{1}</math> hinreichend klein ist. Hier hat <math>x</math> Vorrang vor <math>y</math>. Dann wird <math>p</math> über <math>{p}^{*}</math> in <math>\partial P^*</math> als <math>u</math> extrapoliert. Mit <math>p := p^* + (u - p^*)/s</math> wird <math>\partial P^*</math> gemieden. Darauf wird <math>p</math> tiefer erneut als Schwerpunkt approximiert. Nach optionalem Lösen aller LPs min<math>{}_{k} {h}_{k}</math> durch Bisektionsverfahren für <math>{h}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> in jeweils <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{2})</math> lässt sich <math>v \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{k}</math> mit <math>v_k := \Delta{p}_{k} \Delta{h}_{k}/r</math> und <math>r :=</math> min<math>{}_{k} \Delta{h}_{k}</math> ermitteln. Vereinfacht sei <math>|\Delta{p}_{1}| = ... = |\Delta{p}_{m+n}|</math>.
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Mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, d_{\curvearrowright B} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\curvearrowright B x) := g_{\acute{k}}(x)</math> und <math>g_0(a) = f((\curvearrowleft B)a, y_0, ... , y_{\acute{n}})</math> ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems <math>n</math>-ter Ordnung <math>y^\prime(x) = f(x, y((\curvearrowright B)^0 x), ... , y((\curvearrowright B)^{\acute{n}} x))</math><div style="text-align:center;"><math>y(\curvearrowright B x) = y(x) - d_{\curvearrowright B}x\sum\limits_{k=1}^{p}{i^{2k} g_{p-k}((\curvearrowright B) x)\sum\limits_{m=k}^{p}{\widehat{m!}\binom{\acute{m}}{\acute{k}}}} + \mathcal{O}((d_{\curvearrowright B} x)^{\grave{p}}).\square</math></div>
  
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Hierbei wäre min <math>{h}_{m+n+1}</math> für <math>p^* := p + tv</math> mit <math>t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> und <math>{v}_{m+n+1} = 0</math> ebenso zu lösen. Folgt min<math>{}_{k} {h}_{k} r = 0</math>, wird aufgehört, andernfalls wiederholt, bis min <math>h = 0</math> oder min <math>h &gt; 0</math> feststeht.</br>
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=== Satz von Goldbach ===
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Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt. Da fast jeder Durchlauf <math>h</math> in <math>\mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2})</math> wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.<math>\square</math>
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Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.
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==== Beweis: ====
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Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.<math>\square</math>
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=== Fundierungssatz ===
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Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge <math>X \subseteq Y</math> ein Element <math>x_0</math> enthält, sodass <math>X</math> und <math>x_0</math> disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.
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==== Beweis: ====
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Es wird <math>X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}</math> und <math>x_{\acute{n}} := \{x_n\}</math> mit <math>m \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math> und <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}</math> gesetzt.<math>\square</math>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
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[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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Version vom 1. Juni 2021, 01:55 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Universelles Mehrschrittverfahren

Mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, d_{\curvearrowright B} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\curvearrowright B x) := g_{\acute{k}}(x) }[/math] und [math]\displaystyle{ g_0(a) = f((\curvearrowleft B)a, y_0, ... , y_{\acute{n}}) }[/math] ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems [math]\displaystyle{ n }[/math]-ter Ordnung [math]\displaystyle{ y^\prime(x) = f(x, y((\curvearrowright B)^0 x), ... , y((\curvearrowright B)^{\acute{n}} x)) }[/math]

[math]\displaystyle{ y(\curvearrowright B x) = y(x) - d_{\curvearrowright B}x\sum\limits_{k=1}^{p}{i^{2k} g_{p-k}((\curvearrowright B) x)\sum\limits_{m=k}^{p}{\widehat{m!}\binom{\acute{m}}{\acute{k}}}} + \mathcal{O}((d_{\curvearrowright B} x)^{\grave{p}}).\square }[/math]

Satz von Goldbach

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Beweis:

Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Fundierungssatz

Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge [math]\displaystyle{ X \subseteq Y }[/math] ein Element [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] enthält, sodass [math]\displaystyle{ X }[/math] und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.

Beweis:

Es wird [math]\displaystyle{ X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_{\acute{n}} := \{x_n\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\} }[/math] gesetzt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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