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| − | + | === Universelles Mehrschrittverfahren === | |
| − | + | Mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, d_{\curvearrowright B} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\curvearrowright B x) := g_{\acute{k}}(x)</math> und <math>g_0(a) = f((\curvearrowleft B)a, y_0, ... , y_{\acute{n}})</math> ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems <math>n</math>-ter Ordnung <math>y^\prime(x) = f(x, y((\curvearrowright B)^0 x), ... , y((\curvearrowright B)^{\acute{n}} x))</math><div style="text-align:center;"><math>y(\curvearrowright B x) = y(x) - d_{\curvearrowright B}x\sum\limits_{k=1}^{p}{i^{2k} g_{p-k}((\curvearrowright B) x)\sum\limits_{m=k}^{p}{\widehat{m!}\binom{\acute{m}}{\acute{k}}}} + \mathcal{O}((d_{\curvearrowright B} x)^{\grave{p}}).\square</math></div> | |
| − | + | === Satz von Goldbach === | |
| − | + | Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen. | |
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| + | Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.<math>\square</math> | ||
| − | == | + | === Fundierungssatz === |
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| + | Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge <math>X \subseteq Y</math> ein Element <math>x_0</math> enthält, sodass <math>X</math> und <math>x_0</math> disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit. | ||
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| + | ==== Beweis: ==== | ||
| + | Es wird <math>X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}</math> und <math>x_{\acute{n}} := \{x_n\}</math> mit <math>m \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math> und <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}</math> gesetzt.<math>\square</math> | ||
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| + | == Leseempfehlung == | ||
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik] | [https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik] | ||
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Version vom 1. Juni 2021, 01:55 Uhr
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Universelles Mehrschrittverfahren
Mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, d_{\curvearrowright B} x \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\curvearrowright B x) := g_{\acute{k}}(x) }[/math] und [math]\displaystyle{ g_0(a) = f((\curvearrowleft B)a, y_0, ... , y_{\acute{n}}) }[/math] ergibt die Taylorreihe des Anfangswertproblems [math]\displaystyle{ n }[/math]-ter Ordnung [math]\displaystyle{ y^\prime(x) = f(x, y((\curvearrowright B)^0 x), ... , y((\curvearrowright B)^{\acute{n}} x)) }[/math]
Satz von Goldbach
Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.
Beweis:
Induktion über alle Primzahlabstände bis zum jeweils maximal möglichen.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Fundierungssatz
Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge [math]\displaystyle{ X \subseteq Y }[/math] ein Element [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] enthält, sodass [math]\displaystyle{ X }[/math] und [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.
Beweis:
Es wird [math]\displaystyle{ X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\} }[/math] und [math]\displaystyle{ x_{\acute{n}} := \{x_n\} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega}\mathbb{N} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\} }[/math] gesetzt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]