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(Drei-Kuben-Satz und Satz von Fickett)
(Hauptsätze)
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Drei-Kuben-Satz ===
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Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion <math>F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[ \, \cap \, C</math>, bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x)</math>, exakt <math>B</math>-differenzierbar und es gilt für alle <math>x \in [a, b[ \, \cap \, C</math> und <math>z = \gamma(x)</math>
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Nach dem kleinen Satz von Fermat ist <math>k \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> genau dann Summe von drei Kuben, wenn für <math>2a_{1,2} = n \pm m</math> und <math>a, b, c, d, m, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> aus
 
  
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<div style="text-align:center;"><math>k=(n - a)^3 + n^3 + (n + b)^3 = 3n^3 - a^3 + b^3+ 3c \ne \pm 4\mod 9</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>F' \curvearrowright B(z) = f(z).</math></div>
  
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sowohl <math>(a^2 + b^2)n - (a - b)n^2 = c =: dn</math> als auch <math>m^2 = n^2 - 4(b^2 - bn + d)</math> folgt.<math>\square</math>
 
  
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=== Satz von Fickett ===
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Beweis: <math>dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square</math>
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Für jede Lage zweier überlappender kongruenter <math>n</math>-Quader <math>Q</math> und <math>R</math> mit <math>n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, m:= 2n - 1</math> und dem exakten Standardmaß <math>\mu</math> gilt, wobei <math>\mu</math> für <math>n = 2</math> durch die euklidische Weglänge <math>L</math> zu ersetzen ist:
 
  
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<div style="text-align:center;"><math>\hat{m} &lt; r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) &lt; m.</math></div>
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Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit <math>\gamma: [a, b[ \, \cap \, C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math>
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==== Beweis: ====
 
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Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen <math>s</math> und <math>s + 2d0</math> hat, gilt min <math>r = s/(3s - 2d0) \le r \le</math> max <math>r = (3s - 2d0)/s</math>. Der Beweis für <math>n &gt; 2</math> erfolgt analog.<math>\square</math>
 
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== Leseempfehlung ==
 
  
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<div style="text-align:center;"><math> F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.</math></div>
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Beweis: <math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square</math>
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== Leseempfehlungen ==
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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Version vom 30. November 2021, 20:52 Uhr

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Sätze des Monats

Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion [math]\displaystyle{ F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta } }[/math] ist mit [math]\displaystyle{ \gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[ \, \cap \, C }[/math], bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x) }[/math], exakt [math]\displaystyle{ B }[/math]-differenzierbar und es gilt für alle [math]\displaystyle{ x \in [a, b[ \, \cap \, C }[/math] und [math]\displaystyle{ z = \gamma(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ F' \curvearrowright B(z) = f(z). }[/math]


Beweis: [math]\displaystyle{ dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square }[/math]

Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[ \, \cap \, C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K} }[/math]


[math]\displaystyle{ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }. }[/math]


Beweis: [math]\displaystyle{ F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[ \, \cap \, C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square }[/math]

Leseempfehlungen

Nichtstandardmathematik

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