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Cauchyscher Integralsatz

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ D \subseteq [a, b] }[/math] mit einer einfach zusammenhängenden [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie einer holomorphen Funktion [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] und einem geschlossenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math], wenn [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math] gewählt wird, gilt

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0. }[/math]

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square }[/math]

Fundamentalsatz der Algebra

Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen läst sich [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] erreichen. Die Annahme von [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] ergibt für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] wegen [math]\displaystyle{ f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math].

Aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math] also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

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