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(Endliche Darstellung ungerader \zeta-Werte)
(Satz von Green)
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== Satz des Monats ==
 
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=== Endliche Darstellung für ungerade <math>\zeta</math>-Argumente ===
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=== Satz von Green ===
  
Für <math>n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*}</math>, kleine <math>\varepsilon \in ]0, 1]</math> und <math>{{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}2k\pi i}</math> gilt mit der Digammafunktion <math>\psi</math>,<div style="text-align:center;"><math>\zeta(\grave{n}) = \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\widehat{-\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \gamma +\psi ({{d}_{\varepsilon k n}}) \right)}+\mathcal{O}(\varepsilon )</math></div>bzw.<div style="text-align:center;"><math>\zeta(\grave{n}) = \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\widehat{2\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \psi ({{d}_{\varepsilon k n}}{{i}^{\hat{n}2}})-\psi ({{d}_{\varepsilon k n}}) \right)}+\mathcal{O}({{\varepsilon }^{2}}).</math></div>
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> mit einfach zusammenhängender <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A,</math> <math>{A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math> bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: A \rightarrow \mathbb{R}</math> mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen <math>\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx</math> und <math>\partial Bv/\partial By</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.</math></div>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
Aus der geometrischen Reihe ergibt sich leicht: <div style="text-align:center;"><math>\psi (z)+\gamma +\hat{z}=\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\left( \hat{m}-\widehat{m+z} \right)}=-\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\zeta(\grave{m}){{(-z)}^{m}}}=z\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\hat{m}\widehat{m+z}}.\square</math></div>
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O. B. d. A. werde der Beweis nur für <math>A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da er für das jeweils um <math>\iota</math> gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende <math>h</math>-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}</math></div>gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von <math>\gamma</math> mit <math>dBx = 0</math> zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math><div style="text-align:center;"><math>-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square</math></div>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Version vom 30. April 2022, 22:22 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Satz von Green

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] mit einfach zusammenhängender [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A, }[/math] [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: A \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen [math]\displaystyle{ \partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial Bv/\partial By }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}. }[/math]

Beweis:

O. B. d. A. werde der Beweis nur für [math]\displaystyle{ A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da er für das jeweils um [math]\displaystyle{ \iota }[/math] gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)} }[/math]

gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ dBx = 0 }[/math] zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem [math]\displaystyle{ t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r))) }[/math]

[math]\displaystyle{ -\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik