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Satz des Monats

Satz von Green

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] mit einfach zusammenhängender [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A, }[/math] [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: A \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen [math]\displaystyle{ \partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx }[/math] und [math]\displaystyle{ \partial Bv/\partial By }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}. }[/math]

Beweis:

O. B. d. A. werde der Beweis nur für [math]\displaystyle{ A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da er für das jeweils um [math]\displaystyle{ \iota }[/math] gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)} }[/math]

gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ dBx = 0 }[/math] zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem [math]\displaystyle{ t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r))) }[/math]

[math]\displaystyle{ -\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik