Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (Beweis:)
(Darstellungssätze für Integrale und Ableitungen)
Zeile 2: Zeile 2:
 
= Willkommen bei MWiki =
 
= Willkommen bei MWiki =
 
== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
=== Leibnizsche Differentiationsregel ===
+
=== Definition ===
  
Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright B x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}</math> und <math>s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}</math> gilt bei Wahl von <math>\curvearrowright D a(x) = a(\curvearrowright B x)</math> und <math>\curvearrowright D b(x) = b(\curvearrowright B x)</math><div style="text-align:center;"><math>\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}Dt} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}Dt}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).</math></div>
+
Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(D)</math> um 0 auf dem Gebiet <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>  mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = (f - f_n^*)/2</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math>
  
==== Beweis: ====
+
=== Darstellungssatz für Integrale ===
<div style="text-align:center;"><math>\begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}Dt} \right) &={\left( {\uparrow}_{a(\curvearrowright Bx)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t){\downarrow}Dt}-{\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}Dt} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright Bx,t)-f(x,t)){\downarrow}Dt}+{\uparrow}_{b(x)}^{b(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t){\downarrow}Dt}-{\uparrow}_{a(x)}^{a(\curvearrowright Bx)}{f(\curvearrowright Bx,t){\downarrow}Dt} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}Dt}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright Bx,a(x)).\square\end{aligned}</math></div>
+
 
 +
Die Taylorreihe (s. u.) <math>f(z) \in \mathcal{O}(D)</math> um 0 auf <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergibt mit <math>\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_0^z...\int\limits_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1)\text{d}\zeta_1\;...\;\text{d}\zeta_n} = \widehat{n!} f(z\mu_n) z^n.\square</math></div>
 +
 
 +
=== Darstellungssatz für Ableitungen ===
  
=== Satz von Beal ===
+
Mit <math>\mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset  D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{&gt;0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}.</math></div>
Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math>
 
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
Beweis: Reelle Punkte zwischen <math>r, s \in {}^{\omega}\mathbb{Q}</math> verhindern nicht, dass mit <math>p \in {}^{\omega} \mathbb{P}</math> jede nichttriviale Darstellung von <math>c^k > 1</math> durch <math>(a^{m-r} + ib^{n-s})(a^r - ib^s) =c^k +i(a^rb^{n-s} - a^{m-r}b^s)</math> vorliegt, wobei alle Beziehungen <math>a^{m-\hat{r}} = b^{n-\hat{s}}</math> dann <math>p \mid</math> ggT<math>(a, b, c)</math> sowie die Behauptung ergeben.<math>\square</math>
+
Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math>
  
===Folgerung: ===
+
== Einzelnachweis ==
Der vorige Satz ermöglicht einen unendlichen Abstieg wegen ggT<math>(a, b, c) > 1</math>, sodass <math>a^n + b^n = c^n</math> von keinem <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math>  für beliebige <math>a, b, c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> erfüllt wird.<math>\square</math>
+
<references />
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Version vom 30. März 2023, 23:38 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = (f - f_n^*)/2 }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_0^z...\int\limits_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1)\text{d}\zeta_1\;...\;\text{d}\zeta_n} = \widehat{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ \mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Einzelnachweis

  1. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik