Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Korollar)
(Satz von Green)
(46 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 2: Zeile 2:
 
= Willkommen bei MWiki =
 
= Willkommen bei MWiki =
 
== Satz des Monats ==
 
== Satz des Monats ==
−
=== EW-Verfahren ===
+
=== Satz von Green ===
−
Satz: Ist <math>A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n}</math> in dem linearen Gleichungssystem (LGS) <math>Ax = b \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}^*</math> regulär, berechnet das ''Einheitswurzelverfahren (<math>EW</math>-Verfahren)'' <math>x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> in <math>\mathcal{O}(n^2)</math>..
 
  
−
=== Beweis und Algorithmus ===
+
Mit <math>h</math>-Gebiet <math>D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |{}^\curvearrowright \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D, {D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D</math> bei Wahl von <math>{}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: D \rightarrow \mathbb{R}</math> mit ggf. nicht stetigen Ableitungen <math>{\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x</math> und <math>{\downarrow} v/{\downarrow} y</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}.</math></div>
−
Seien <math>R_1 := (r_{1jk}) = (r_{1kj}) = R_1^T \in {}^{\nu}\mathbb{C}^{n \times n}, n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, r_{11k} := 1</math> und für <math>j &gt; 1</math> sowie <math>n_{jk} := j + k - 3</math> sowohl <math>r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau n_{jk}/n}</math> mit  <math>n_{jk} &lt; n</math> als auch <math>r_{1jk} := \hat{n}e^{i\tau(n_{jk} - \acute{n})/n}</math> mit <math>n_{jk} \ge n</math>. Durch Vertauschung der ersten Zeile bzw. Spalte mit der <math>j</math>-ten und entsprechender Vertauschung der übrigen Zeilen und Spalten entstehen die Matrizen <math>R_j = R_j^T</math> mit <math>j &gt; 1</math>. Sei <math>\delta_{jk}</math> das Kronecker-Delta und <math>A := (a_{jk})</math>.
 
  
−
Folgt <math>a_{jk} \le 0</math> für mindestens ein Paar <math>(j, k)</math>, so werden die Summe <math>s_0 := \sum\limits_{j=1}^m{b_j\varepsilon^j}</math> mit einer beliebigen transzendenten Zahl <math>\varepsilon</math> und <math>s_k := \sum\limits_{j=1}^m{a_{jk}\varepsilon^j} \ne 0</math> für alle <math>k</math> gebildet. Für <math>s_k &lt; 0</math> wird <math>x_k</math> durch <math>-x_k</math> ersetzt. Ein Vielfaches von <math>s^Tx</math> bzw. <math>s_0</math> wird so zu <math>Ax = b</math> addiert, dass <math>a_{jk} > 0</math> für alle <math>(j, k)</math> gilt. O. B. d. A. sei <math>b_j = 1</math> für alle <math>j</math>. Für <math>D_j := (d_{jk}), d_{jk} = \delta_{jk}⁄a_{jk}, C_j := D_j R_j</math> und <math>x_k^{(0)} := \hat{n}/ \max_j a_{jk}</math> sei <math>x^{(\grave{m})} = x^{(m)} + C_j^{-1}(b - Ax^{\prime(m)}).\square</math>
+
==== Beweis: ====
−
 
+
Der Beweis wird nur für <math>D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da das jeweils um <math>\check{\pi}</math> gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem <math>h</math>-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf <div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.</math></div> Unter Vernachlässigung der Teile von <math>\gamma</math> mit <math>{\downarrow}x = 0</math> zum Kurvenintegral wie von <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math> gilt<div style="text-align:center;"><math>-{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-t={\uparrow}_{r}^{s}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{r}^{s}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{r}^{s}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square</math></div>
−
=== Korollar ===
 
−
Das EW-Verfahren kann jeden Eigenwert und -vektor von <math>Ax = \lambda x \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n} + {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n}</math> für <math>n \in {}^{\nu}2\mathbb{N}^*, \lambda \in {}^{\nu}\mathbb{Q}+ {i}^{\nu}\mathbb{Q}</math> und <math>A \in {}^{\nu}\mathbb{Q}^{n \times n}</math> mit dem Ansatz <math>x^{\prime(\grave{m})} = C_j^{-1}AC_j x^{\prime(m)}</math> in <math>\mathcal{O}(n^2)</math> bestimmen.<math>\square</math>
 
−
 
 
−
'''Bemerkung:''' Die Erweiterung auf komplexe <math>A</math> und <math>b</math> ist einfach.
 
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Version vom 1. Mai 2023, 03:25 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Satz von Green

Mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |{}^\curvearrowright \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D, {D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial D }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: D \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit ggf. nicht stetigen Ableitungen [math]\displaystyle{ {\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow} v/{\downarrow} y }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Beweis:

Der Beweis wird nur für [math]\displaystyle{ D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da das jeweils um [math]\displaystyle{ \check{\pi} }[/math] gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}. }[/math]

Unter Vernachlässigung der Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}x = 0 }[/math] zum Kurvenintegral wie von [math]\displaystyle{ t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r))) }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ -{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-t={\uparrow}_{r}^{s}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{r}^{s}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{r}^{s}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Abgerufen von „https://de.mwiki.de/index.php?title=Hauptseite&oldid=274“