Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen
(→Satz des Monats) |
|||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
= Willkommen bei MWiki = | = Willkommen bei MWiki = | ||
− | == | + | == Satz des Monats == |
− | + | Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>. | |
− | < | + | Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir <math>{b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> und <math>{A}^{T}y \ge d</math>. Die ''Höhe'' <math>h</math> habe den Startwert <math>{h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r</math> mit dem Reduktionsfaktor <math>r \in \; ]0, 1[</math>. |
+ | Das LP min <math>\{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> habe mit <math>\underline{v} := {v}^{T}</math> den zulässigen inneren Startpunkt <math>v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T}</math>. | ||
− | + | Es identifiziert die zueinander dualen LPs max <math>\{{d}^{T}x : d \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge d\}</math>. | |
− | + | Wir interpolieren nacheinander alle <math>{v}_{k}^{*} := (\text{max } {v}_{k} + \text{min } {v}_{k})/2</math>, bis alle <math>|\Delta{v}_{k}|</math> hinreichend klein sind. In <math>\mathcal{O}(\omega\vartheta)</math> extrapolieren wir dann <math>v</math> über <math>{v}^{*}</math> in den Polytoprand. Das <math>r</math>-fache der über <math>{v}^{*}</math> hinausgehenden Strecke legt den neuen Ausgangspunkt <math>v</math> fest. | |
− | + | Folgt min<math>{}_{k} {h}_{k} t = 0</math> aus <math>t :=</math> min<math>{}_{k} \Delta{h}_{k}</math>, hören wir auf. Dann beginnen wir von vorn, bis min <math>h = 0</math> oder min <math>h > 0</math> feststeht. Da sich <math>h</math> bei fast jedem Durchlauf in <math>\mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2})</math> wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.<math>\square</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Leseempfehlungen == | == Leseempfehlungen == |
Version vom 8. Dezember 2019, 18:06 Uhr
Willkommen bei MWiki
Satz des Monats
Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\vartheta}^{3}) }[/math].
Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir [math]\displaystyle{ {b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{T}y \ge d }[/math]. Die Höhe [math]\displaystyle{ h }[/math] habe den Startwert [math]\displaystyle{ {h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r }[/math] mit dem Reduktionsfaktor [math]\displaystyle{ r \in \; ]0, 1[ }[/math].
Das LP min [math]\displaystyle{ \{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\} }[/math] habe mit [math]\displaystyle{ \underline{v} := {v}^{T} }[/math] den zulässigen inneren Startpunkt [math]\displaystyle{ v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1} }[/math], z. B. [math]\displaystyle{ ({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T} }[/math].
Es identifiziert die zueinander dualen LPs max [math]\displaystyle{ \{{d}^{T}x : d \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\} }[/math] und min [math]\displaystyle{ \{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge d\} }[/math].
Wir interpolieren nacheinander alle [math]\displaystyle{ {v}_{k}^{*} := (\text{max } {v}_{k} + \text{min } {v}_{k})/2 }[/math], bis alle [math]\displaystyle{ |\Delta{v}_{k}| }[/math] hinreichend klein sind. In [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\omega\vartheta) }[/math] extrapolieren wir dann [math]\displaystyle{ v }[/math] über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] in den Polytoprand. Das [math]\displaystyle{ r }[/math]-fache der über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] hinausgehenden Strecke legt den neuen Ausgangspunkt [math]\displaystyle{ v }[/math] fest.
Folgt min[math]\displaystyle{ {}_{k} {h}_{k} t = 0 }[/math] aus [math]\displaystyle{ t := }[/math] min[math]\displaystyle{ {}_{k} \Delta{h}_{k} }[/math], hören wir auf. Dann beginnen wir von vorn, bis min [math]\displaystyle{ h = 0 }[/math] oder min [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math] feststeht. Da sich [math]\displaystyle{ h }[/math] bei fast jedem Durchlauf in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2}) }[/math] wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]