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(Satz des Monats)
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== Sätze des Monats ==
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== Satz des Monats ==
Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion <math>F(z)=\int\limits_{\gamma }{f(\zeta )dB\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in [a, b[C</math>, wenn wir <math>\curvearrowright B \gamma(x) = \gamma(\curvearrowright D x)</math> wählen, exakt <math>B</math>-differenzierbar und es gilt für alle <math>x \in [a, b[C</math> und <math>z = \gamma(x)</math>
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Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
  
<div style="text-align:center;"><math>F' \curvearrowright B(z) = f(z).</math></div>
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Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir <math>{b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> und <math>{A}^{T}y \ge d</math>. Die ''Höhe'' <math>h</math> habe den Startwert <math>{h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r</math> mit dem Reduktionsfaktor <math>r \in \; ]0, 1[</math>.
  
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Das LP min <math>\{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> habe mit <math>\underline{v} := {v}^{T}</math> den zulässigen inneren Startpunkt <math>v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T}</math>.
  
Beweis: <math>dB(F(z))=\int\limits_{t\in [d,x]C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}-\int\limits_{t\in [d,x[C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{x}{f(\gamma (t))\frac{\gamma (\curvearrowright Dt)-\gamma (t)}{\curvearrowright Dt-t}dDt}=f(\gamma (x)){{{\gamma }'}_{\curvearrowright }}D(x)dDx=\,f(\gamma (x))(\curvearrowright B\gamma (x)-\gamma (x))=f(z)dBz.\square</math>
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Es identifiziert die zueinander dualen LPs max <math>\{{d}^{T}x : d \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge d\}</math>.
  
Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit <math>\gamma: [a, b[C \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math>
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Wir interpolieren nacheinander alle <math>{v}_{k}^{*} := (\text{max } {v}_{k} + \text{min } {v}_{k})/2</math>, bis alle <math>|\Delta{v}_{k}|</math> hinreichend klein sind. In <math>\mathcal{O}(\omega\vartheta)</math> extrapolieren wir dann <math>v</math> über <math>{v}^{*}</math> in den Polytoprand. Das <math>r</math>-fache der über <math>{v}^{*}</math> hinausgehenden Strecke legt den neuen Ausgangspunkt <math>v</math> fest.
  
 
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Folgt min<math>{}_{k} {h}_{k} t = 0</math> aus <math>t :=</math> min<math>{}_{k} \Delta{h}_{k}</math>, hören wir auf. Dann beginnen wir von vorn, bis min <math>h = 0</math> oder min <math>h > 0</math> feststeht. Da sich <math>h</math> bei fast jedem Durchlauf in <math>\mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2})</math> wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.<math>\square</math>
<div style="text-align:center;"><math> F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.</math></div>
 
 
 
 
 
Beweis: <math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{F(\curvearrowright B\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))=\sum\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t))(\curvearrowright B\,\gamma (t)-\gamma (t))}=\int\limits_{t\in [a,b[C}{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}D(t)dDt}=\int\limits_{\gamma }{{{{{F}'}}_{\curvearrowright }}B(\zeta )dB\zeta }.\square</math>
 
  
 
== Leseempfehlungen ==
 
== Leseempfehlungen ==

Version vom 8. Dezember 2019, 18:06 Uhr

Willkommen bei MWiki

Satz des Monats

Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\vartheta}^{3}) }[/math].

Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir [math]\displaystyle{ {b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{T}y \ge d }[/math]. Die Höhe [math]\displaystyle{ h }[/math] habe den Startwert [math]\displaystyle{ {h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r }[/math] mit dem Reduktionsfaktor [math]\displaystyle{ r \in \; ]0, 1[ }[/math].

Das LP min [math]\displaystyle{ \{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\} }[/math] habe mit [math]\displaystyle{ \underline{v} := {v}^{T} }[/math] den zulässigen inneren Startpunkt [math]\displaystyle{ v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1} }[/math], z. B. [math]\displaystyle{ ({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T} }[/math].

Es identifiziert die zueinander dualen LPs max [math]\displaystyle{ \{{d}^{T}x : d \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\} }[/math] und min [math]\displaystyle{ \{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge d\} }[/math].

Wir interpolieren nacheinander alle [math]\displaystyle{ {v}_{k}^{*} := (\text{max } {v}_{k} + \text{min } {v}_{k})/2 }[/math], bis alle [math]\displaystyle{ |\Delta{v}_{k}| }[/math] hinreichend klein sind. In [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\omega\vartheta) }[/math] extrapolieren wir dann [math]\displaystyle{ v }[/math] über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] in den Polytoprand. Das [math]\displaystyle{ r }[/math]-fache der über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] hinausgehenden Strecke legt den neuen Ausgangspunkt [math]\displaystyle{ v }[/math] fest.

Folgt min[math]\displaystyle{ {}_{k} {h}_{k} t = 0 }[/math] aus [math]\displaystyle{ t := }[/math] min[math]\displaystyle{ {}_{k} \Delta{h}_{k} }[/math], hören wir auf. Dann beginnen wir von vorn, bis min [math]\displaystyle{ h = 0 }[/math] oder min [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math] feststeht. Da sich [math]\displaystyle{ h }[/math] bei fast jedem Durchlauf in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2}) }[/math] wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

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