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(Satz des Monats)
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Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
 
Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
  
Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir <math>{b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> und <math>{A}^{T}y \ge d</math>. Die ''Höhe'' <math>h</math> habe den Startwert <math>{h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r</math> mit dem Reduktionsfaktor <math>r \in \; ]0, 1[</math>.
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Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir <math>{b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> und <math>{A}^{T}y \ge d</math>. Die ''Höhe'' <math>h</math> habe den Startwert <math>{h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r</math> mit dem Reduktionsfaktor <math>r \in \; [&frac12;, 1[</math>.
  
 
Das LP min <math>\{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> habe mit <math>\underline{v} := {v}^{T}</math> den zulässigen inneren Startpunkt <math>v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T}</math>.
 
Das LP min <math>\{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> habe mit <math>\underline{v} := {v}^{T}</math> den zulässigen inneren Startpunkt <math>v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T}</math>.

Version vom 10. Dezember 2019, 19:02 Uhr

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Satz des Monats

Satz: Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\vartheta}^{3}) }[/math].

Beweis und Algorithmus: Zuerst normieren und skalieren wir [math]\displaystyle{ {b}^{T}y - {d}^{T}x \le 0, Ax \le b }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{T}y \ge d }[/math]. Die Höhe [math]\displaystyle{ h }[/math] habe den Startwert [math]\displaystyle{ {h}_{0} := |\text{min } \{{b}_{1}, ..., {b}_{m}, {-d}_{1}, ..., {-d}_{n}\}|/r }[/math] mit dem Reduktionsfaktor [math]\displaystyle{ r \in \; [½, 1[ }[/math].

Das LP min [math]\displaystyle{ \{h \in [0, {h}_{0}] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {b}^{T}y - {d}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, d - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\} }[/math] habe mit [math]\displaystyle{ \underline{v} := {v}^{T} }[/math] den zulässigen inneren Startpunkt [math]\displaystyle{ v := ({\underline{x}, \underline{y}, h)}^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1} }[/math], z. B. [math]\displaystyle{ ({\underline{0}, \underline{0}, {h}_{0})}^{T} }[/math].

Es identifiziert die zueinander dualen LPs max [math]\displaystyle{ \{{d}^{T}x : d \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\} }[/math] und min [math]\displaystyle{ \{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge d\} }[/math].

Wir interpolieren nacheinander alle [math]\displaystyle{ {v}_{k}^{*} := (\text{max } {v}_{k} + \text{min } {v}_{k})/2 }[/math], bis alle [math]\displaystyle{ |\Delta{v}_{k}| }[/math] hinreichend klein sind. In [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\omega\vartheta) }[/math] extrapolieren wir dann [math]\displaystyle{ v }[/math] über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] in den Polytoprand. Das [math]\displaystyle{ r }[/math]-fache der über [math]\displaystyle{ {v}^{*} }[/math] hinausgehenden Strecke legt den neuen Ausgangspunkt [math]\displaystyle{ v }[/math] fest.

Folgt min[math]\displaystyle{ {}_{k} {h}_{k} t = 0 }[/math] aus [math]\displaystyle{ t := }[/math] min[math]\displaystyle{ {}_{k} \Delta{h}_{k} }[/math], hören wir auf. Dann beginnen wir von vorn, bis min [math]\displaystyle{ h = 0 }[/math] oder min [math]\displaystyle{ h \gt 0 }[/math] feststeht. Da sich [math]\displaystyle{ h }[/math] bei fast jedem Durchlauf in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2}) }[/math] wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

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