Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen
(→Sätze des Monats) |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
= Willkommen bei MWiki = | = Willkommen bei MWiki = | ||
| − | == | + | == Sätze des Monats == |
| − | + | === Cauchyscher Integralsatz === | |
| − | + | Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> und <math>D \subseteq [a, b]</math> mit einer einfach zusammenhängenden <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>, infinitesimalem <math>h</math> sowie einer holomorphen Funktion <math>f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C}</math> und einem geschlossenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math>, wenn wir <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> mit <math>t \in [a, b[</math> wählen, gilt | |
| + | <div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=0.</math></div> | ||
| − | + | '''Beweis:''' Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit <math>x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f</math> und <math>{A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\}</math> | |
| − | + | <div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{f(z)dBz}=\int\limits_{\gamma }{\left( u+iv \right)\left( dBx+idBy \right)}=\int\limits_{z\in {{A}^{-}}}{\left( i\left( \frac{\partial Bu}{\partial Bx}-\frac{\partial Bv}{\partial By} \right)-\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}+\frac{\partial Bu}{\partial By} \right) \right)dB(x,y)}=0.\square</math></div> | |
| − | + | === Fundamentalsatz der Algebra === | |
| − | + | Für jedes nicht-konstante Polynom <math>p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> gibt es ein <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> mit <math>p(z) = 0</math>. | |
| + | |||
| + | '''Indirekter Beweis:''' Durch affin-lineare Variablensubstitutionen können wir <math>1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0})</math> erreichen. Wir nehmen <math>p(z) \ne 0</math> für alle <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> an. | ||
| + | |||
| + | Für das holomorphe <math>f(z) := 1/p(z)</math> gilt <math>f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0})</math> und aufgrund der Mittelwertungleichung <math>|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}</math> mit <math>\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)</math> und beliebigem <math>r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0}</math>, also <math>f(0) = \mathcal{O}(\text{d0})</math> im Widerspruch zur Voraussetzung.<math>\square</math> | ||
== Leseempfehlungen == | == Leseempfehlungen == | ||
Version vom 1. Januar 2020, 05:11 Uhr
Inhaltsverzeichnis
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Cauchyscher Integralsatz
Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {A}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ D \subseteq [a, b] }[/math] mit einer einfach zusammenhängenden [math]\displaystyle{ h }[/math]-Menge [math]\displaystyle{ A \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie einer holomorphen Funktion [math]\displaystyle{ f: A \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] und einem geschlossenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial A }[/math], wenn wir [math]\displaystyle{ \curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math] wählen, gilt
Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen partiellen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {A}^{-} := \{z \in A : z + h + ih \in A\} }[/math]
Fundamentalsatz der Algebra
Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].
Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen können wir [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] erreichen. Wir nehmen [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] an.
Für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] gilt [math]\displaystyle{ f(1/\text{d0}) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] und aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math], also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\text{d0}) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]