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K (Satz von Green)
(Darstellungssätze für Integrale und Ableitungen)
 
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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=== Satz von Green ===
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=== Definition ===
  
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {D}^{2}</math> mit <math>h</math>-Gebiet <math>D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D,</math> <math>{D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D</math> bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright A t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: D \rightarrow \mathbb{R}</math> mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen <math>\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx</math> und <math>\partial Bv/\partial By</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.</math></div>
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Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf dem Gebiet <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*)</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math>
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=== Darstellungssatz für Integrale ===
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Die Taylorreihe (s. u.) <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergibt mit <math>\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square</math></div>
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=== Darstellungssatz für Ableitungen ===
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Mit <math>{}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>\varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{&gt;0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}.</math></div>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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O. B. d. A. werde der Beweis nur für <math>D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da er für das jeweils um <math>\iota</math> gedrehte Äquivalent analog verläuft und jedes <math>h</math>-Gebiet eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}</math></div>gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von <math>\gamma</math> mit <math>dBx = 0</math> zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math><div style="text-align:center;"><math>-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square</math></div>
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Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math>
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== Einzelnachweis ==
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== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Aktuelle Version vom 31. März 2024, 22:58 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*) }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ {}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Einzelnachweis

  1. ↑ Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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