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Sätze des Monats

Kubensatz

Mit [math]\displaystyle{ a, b, c, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] besteht [math]\displaystyle{ m \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] genau dann aus einer Summe von drei Kuben, wenn

[math]\displaystyle{ m=n^3 + (n + a)^3 + (n - b)^3 = 3n^3 + a - b+ 6c \ne \pm 4\mod 9 }[/math]

gilt. Diese implizit quadratische Gleichung liefert die für [math]\displaystyle{ n }[/math] zu erfüllende Formel.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Fickett

Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2} }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] durch die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ L }[/math] zu ersetzen ist:

[math]\displaystyle{ 1/(2n - 1) < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < 2n - 1. }[/math]

Beweis:

Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + 2d0 }[/math] hat, gilt min [math]\displaystyle{ r = s/(3s - 2d0) \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = (3s - 2d0)/s }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] erfolgt analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

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Nichtstandardmathematik