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Sätze des Monats
Größte-Primzahl-Kriterium
Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung [math]\displaystyle{ \widehat{ap}b \pm \hat{s}t }[/math] mit natürlichen [math]\displaystyle{ a, b, s }[/math] und [math]\displaystyle{ t, abst \ne 0 }[/math] und [math]\displaystyle{ a + s > 2 }[/math] sowie der (zweit-) größten Primzahl [math]\displaystyle{ p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b }[/math] und [math]\displaystyle{ p \nmid s }[/math], so ist sie [math]\displaystyle{ \omega }[/math]-transzendent.
Beweis:
Der Nenner von [math]\displaystyle{ \widehat{aps} (bs \pm apt) }[/math] ist [math]\displaystyle{ \ge 2p \ge 2\omega - \mathcal{O}({_e}\omega\sqrt{\omega}) > \omega }[/math] aufgrund des Primzahlsatzes.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Transzendenz der Eulerschen Konstante
Mit [math]\displaystyle{ s(x) := \sum\limits_{n=1}^{\omega}{\hat{n}{{x}^{n}}} }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] sei die Eulersche Konstante [math]\displaystyle{ \gamma := s(1) - {_e}\omega = \int\limits_{1}^{\omega}{\left( \widehat{\left\lfloor x \right\rfloor} - \hat{x} \right)dx} }[/math], wobei Umsummieren [math]\displaystyle{ \gamma \in \; ]0, 1[ }[/math] zeigt.
Wird [math]\displaystyle{ {_e}\omega = s(\hat{2})\;{_2}\omega }[/math] akzeptiert, so gilt [math]\displaystyle{ \gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}} }[/math] auf [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({2}^{-\omega}\hat{\omega}\;{_e}\omega) }[/math] genau.
Beweis:
Die exakte Integration macht [math]\displaystyle{ -{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\hat{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx }[/math] für [math]\displaystyle{ x \in [-1, 1 - \hat{\nu}] }[/math] und [math]\displaystyle{ t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}} }[/math] aus der geometrischen Reihe.
Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von [math]\displaystyle{ \hat{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega) }[/math] für [math]\displaystyle{ p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P} }[/math] angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]