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Satz des Monats

Das Zentrumsverfahren löst jedes lösbare LP in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\omega{\vartheta}^2) }[/math].

Beweis und Algorithmus

Beweis und Algorithmus: Sei [math]\displaystyle{ z := \grave{m} + n }[/math] und [math]\displaystyle{ d \in [0, 1] }[/math] die Dichte von [math]\displaystyle{ A }[/math]. Zuerst werden [math]\displaystyle{ {b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b }[/math] sowie [math]\displaystyle{ {A}^{T}y \ge c }[/math] normiert und skaliert. [math]\displaystyle{ P_r := \{(x, y)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{z} : {b}^{T}y - {c}^{T}x \le r \in [0, \check{r}], Ax - b \le \underline{r}_m, c - {A}^{T}y \le \underline{r}_n\} }[/math] habe den Radius [math]\displaystyle{ \check{r} := s|\min \; \{b_1, ..., b_m, -c_1, ..., -c_n\}| }[/math] und den Skalierungsfaktor [math]\displaystyle{ s \in [1, 2] }[/math]. Es folgt [math]\displaystyle{ \underline{0}_{z} \in \partial P_{\check{r}} }[/math]. Nach dem starken Dualitätssatz löst das LP min [math]\displaystyle{ \{ r \in [0, \check{r}] : (x, y)^T \in P_r\} }[/math] ebenso die LPs max [math]\displaystyle{ \{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\} }[/math] und min [math]\displaystyle{ \{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\} }[/math].


Seine Lösung ist der geometrische Schwerpunkt [math]\displaystyle{ g }[/math] des Polytops [math]\displaystyle{ P_0 }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ p_k^* := (\text{min}\,p_k + \text{max}\,p_k)/2 }[/math] für [math]\displaystyle{ k = 1, ..., \grave{z} }[/math] wird [math]\displaystyle{ g }[/math] durch [math]\displaystyle{ p_0 := (x_0, y_0, r_0)^T }[/math] approximiert, bis [math]\displaystyle{ ||\Delta p||_1 }[/math] hinreichend klein ist. Die Lösung [math]\displaystyle{ t^o(x^o, y^o, r^o)^T }[/math] des zweidimensionalen LPs min [math]\displaystyle{ \{ r \in [0, \check{r}] : t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{> 0}, t(x_0, y_0)^T \in P_r\} }[/math] approximiert [math]\displaystyle{ g }[/math] besser und erreicht [math]\displaystyle{ r \le \check{r}/\sqrt{\grave{z}} }[/math]. Dies wird mit [math]\displaystyle{ t^o(x^o, y^o)^T }[/math] wiederholt, bis ggf. [math]\displaystyle{ g \in P_0 }[/math] in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({}_z\check{r} {}_e\check{r}dmn) }[/math] berechnet ist. Zahlen der Länge [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\omega}) }[/math] lassen sich bekanntlich nur in [math]\displaystyle{ \mathcal{O}(\vartheta) }[/math] abarbeiten.


Das Lösen aller zweidimensionalen LPs [math]\displaystyle{ \text{min}_k r_k }[/math] durch Bisektionsverfahren für [math]\displaystyle{ r_k \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0} }[/math] und [math]\displaystyle{ k = 1, ..., z }[/math] in jeweils [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({\vartheta}^2) }[/math] ermittelt [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega}\mathbb{R}^k }[/math] mit [math]\displaystyle{ q_k := \Delta p_k \Delta r_k/r }[/math] und [math]\displaystyle{ r := \text{min}_k \Delta r_k }[/math]. Vereinfacht sei [math]\displaystyle{ |\Delta p_1| = … = |\Delta p_{z}| }[/math]. Hierbei wäre min [math]\displaystyle{ r_{\grave{z}} }[/math] für [math]\displaystyle{ p^* := p + wq }[/math] mit [math]\displaystyle{ w \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0} }[/math] ebenso zu lösen. Folgt [math]\displaystyle{ \text{min}_k \Delta r_k r = 0 }[/math], wird aufgehört, andernfalls wiederholt bis min [math]\displaystyle{ r = 0 }[/math] oder min [math]\displaystyle{ r > 0 }[/math] feststeht. Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik