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Satz des Monats

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen

Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl [math]\displaystyle{ \mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis:

Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4\sum\limits_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Einzelnachweise

  1. Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.