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Sätze des Monats

Drei-Kuben-Satz

Nach dem kleinen Satz von Fermat ist [math]\displaystyle{ k \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] genau dann Summe von drei Kuben, wenn für [math]\displaystyle{ 2a_{1,2} = n \pm m }[/math] und [math]\displaystyle{ a, b, c, d, m, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] aus

[math]\displaystyle{ k=(n - a)^3 + n^3 + (n + b)^3 = 3n^3 - a^3 + b^3+ 3c \ne \pm 4\mod 9 }[/math]

sowohl [math]\displaystyle{ (a^2 + b^2)n - (a - b)n^2 = c =: dn }[/math] als auch [math]\displaystyle{ m^2 = n^2 - 4(b^2 - bn + d) }[/math] folgt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Fickett

Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, \grave{m} := \hat{n} }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ L }[/math] ist:

[math]\displaystyle{ \tilde{m} < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < m. }[/math]

Beweis:

Das zugrundeliegende Extremalproblem hat sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + \hat{\iota} }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ q := 3 - \hat{\iota}\tilde{s} }[/math] gilt min [math]\displaystyle{ r = \tilde{q} \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = q }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] verläuft analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik