Hauptseite

Aus MWiki
Version vom 30. März 2023, 23:41 Uhr von Borishaase (Diskussion | Beiträge) (Darstellungssatz für Integrale)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := i^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = (f - f_n^*)/2 }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(D) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ \mathbb{B}_{\hat{\nu}}(0) \subset D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + \sum\limits_{m=1}^{\omega }{\widehat{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ b_{\varepsilon n} := \hat{\varepsilon}\,\acute{n}! = 2^j, j, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, \varepsilon \in ]0, r^n[, {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}k\tau i} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=b_{\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\delta_n^* f({{d}_{\varepsilon k n}})}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Einzelnachweis

  1. Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik