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Satz des Monats
Endliche Darstellung ungerader [math]\displaystyle{ \zeta }[/math]-Werte
Für [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}2\mathbb{N}^{*} }[/math], kleine [math]\displaystyle{ \varepsilon \in ]0, 1] }[/math] und [math]\displaystyle{ {{d}_{\varepsilon k n}}:={{\varepsilon}^{{\hat{n}}}}{e}^{\hat{n}2k\pi i} }[/math] gilt mit der Digammafunktion [math]\displaystyle{ \psi }[/math],
[math]\displaystyle{ \zeta(\grave{n}) = \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\widehat{-\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \gamma +\psi ({{d}_{\varepsilon k n}}) \right)}+\mathcal{O}(\varepsilon ) }[/math]
bzw.
[math]\displaystyle{ \zeta(\grave{n}) = \underset{\varepsilon \to 0}{\mathop{\lim }}\,\widehat{2\varepsilon n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \psi ({{d}_{\varepsilon k n}}{{i}^{\hat{n}2}})-\psi ({{d}_{\varepsilon k n}}) \right)}+\mathcal{O}({{\varepsilon }^{2}}). }[/math]
Beweis:
Aus der geometrischen Reihe ergibt sich leicht:
[math]\displaystyle{ \psi (z)+\gamma +\hat{z}=\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\left( \hat{m}-\widehat{m+z} \right)}=-\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\zeta(\grave{m}){{(-z)}^{m}}}=z\sum\limits_{m=1}^{\omega }{\hat{m}\widehat{m+z}}.\square }[/math]