Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen

Aus MWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Satz von Green)
K (→‎Umkehrsatz für Taylorreihen)
(44 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
= Willkommen bei MWiki =
 
= Willkommen bei MWiki =
−
== Satz des Monats ==
+
== Sätze des Monats ==
−
=== Satz von Green ===
+
=== Anzahlsatz der algebraischen Zahlen ===
  
−
Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {A}^{2}</math> mit einfach zusammenhängender <math>h</math>-Menge <math>A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |dBx|= |dBy| = |\curvearrowright B \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\hat{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in A,</math> <math>{A}^{-} := \{(x, y) \in A : (x + h, y + h) \in A\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial A</math> bei Wahl von <math>\curvearrowright B \gamma(t) = \gamma(\curvearrowright D t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, D \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: A \rightarrow \mathbb{R}</math> mit nicht notwendig stetigen partiellen Ableitungen <math>\partial Bu/\partial Bx, \partial Bu/\partial By, \partial Bv/\partial Bx</math> und <math>\partial Bv/\partial By</math><div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{(u\,dBx+v\,dBy)}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\left( \frac{\partial Bv}{\partial Bx}-\frac{\partial Bu}{\partial By} \right)dB(x,y)}.</math></div>
+
Mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math> haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad <math>m</math> und damit allgemein asymptotisch die Anzahl <math>\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right)</math>, wobei <math>z(m)</math> die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
−
O. B. d. A. werde der Beweis nur für <math>A := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da er für das jeweils um <math>\iota</math> gedrehte Äquivalent analog verläuft und jede einfach zusammenhängende <math>h</math>-Menge eine Vereinigung solcher Mengen ist. Es wird nur<div style="text-align:center;"><math>\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}=-\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}</math></div>gezeigt, da sich die fehlende Beziehung analog ergibt. Da die Teile von <math>\gamma</math> mit <math>dBx = 0</math> zum Kurvenintegral nichts beitragen, gilt mit vernachlässigbarem <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math><div style="text-align:center;"><math>-\int\limits_{\gamma }{u\,dBx}-t=\int\limits_{r}^{s}{u(x,g(x))dBx}-\int\limits_{r}^{s}{u(x,f(x))dBx}=\int\limits_{r}^{s}{\int\limits_{f(x)}^{g(x)}{\frac{\partial Bu}{\partial By}}dBydBx}=\int\limits_{(x,y)\in {{A}^{-}}}{\frac{\partial Bu}{\partial By}dB(x,y)}.\square</math></div>
+
Der Fall <math>m = 1</math> erfordert nach <ref name="Scheid">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.</ref> den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> und gibt die Anzahl <math>4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1</math> der rationalen Zahlen über die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion wieder. Für <math>m > 1</math> ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit <math>\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1</math> werden durch <math>1/\zeta(\grave{m})</math> ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen <math>p</math> aller <math>(1 - {p}^{-\grave{m}})</math>, die hier Vielfache der <math>p</math> entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.<math>\square</math>
 +
 
 +
=== Satz von Brocard ===
 +
Es gilt <math>\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.</math>
 +
 
 +
==== Beweis: ====
 +
Aus <math>n! = \acute{m}\grave{m}</math> folgt <math>m = \hat{r} \pm 1</math> für <math>r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und <math>n \ge 3</math>. Also ist <math>n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)</math> mit <math>s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Gelte <math>2^q \mid n!</math> und <math>2^{\grave{q}} \nmid n!</math> für maximales <math>q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Damit ist <math>n! = 2^q(\hat{u} + 1)</math> für <math>u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und zwingend <math>n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)</math>. Die Primfaktorzerlegung von <math>n!</math> erfordert dann <math>n \le 7</math>, was die Behauptung ergibt.<math>\square</math>
 +
 
 +
=== Umkehrsatz für Taylorreihen ===
 +
Für <math>y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b</math> und <math>y^{\prime}(a) \ne 0</math> ergibt der [[w:Lagrangesche_Inversionsformel#Formel_von_Lagrange-Bürmann|<span class="wikipedia">Satz von Bürmann</span>]]:<div style="text-align:center;"><math>f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}{\tilde{\varepsilon}}^{\acute{m}}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square</math></div>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 +
 +
== Einzelnachweise ==
 +
<references />
  
 
[[en:Main Page]]
 
[[en:Main Page]]

Version vom 18. Juli 2024, 00:21 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen

Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl [math]\displaystyle{ \mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis:

Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Brocard

Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}. }[/math]

Beweis:

Aus [math]\displaystyle{ n! = \acute{m}\grave{m} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ m = \hat{r} \pm 1 }[/math] für [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \ge 3 }[/math]. Also ist [math]\displaystyle{ n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1) }[/math] mit [math]\displaystyle{ s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Gelte [math]\displaystyle{ 2^q \mid n! }[/math] und [math]\displaystyle{ 2^{\grave{q}} \nmid n! }[/math] für maximales [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Damit ist [math]\displaystyle{ n! = 2^q(\hat{u} + 1) }[/math] für [math]\displaystyle{ u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und zwingend [math]\displaystyle{ n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1) }[/math]. Die Primfaktorzerlegung von [math]\displaystyle{ n! }[/math] erfordert dann [math]\displaystyle{ n \le 7 }[/math], was die Behauptung ergibt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Umkehrsatz für Taylorreihen

Für [math]\displaystyle{ y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b }[/math] und [math]\displaystyle{ y^{\prime}(a) \ne 0 }[/math] ergibt der Satz von Bürmann:

[math]\displaystyle{ f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}{\tilde{\varepsilon}}^{\acute{m}}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Einzelnachweise

  1. ↑ Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.
Abgerufen von „https://de.mwiki.de/index.php?title=Hauptseite&oldid=312“