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Sätze des Monats

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen

Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl [math]\displaystyle{ \mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis:

Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Brocard

Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}. }[/math]

Beweis:

Aus [math]\displaystyle{ n! = \acute{m}\grave{m} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ m = \hat{r} \pm 1 }[/math] für [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \ge 3 }[/math]. Also ist [math]\displaystyle{ n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1) }[/math] mit [math]\displaystyle{ s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Gelte [math]\displaystyle{ 2^q \mid n! }[/math] und [math]\displaystyle{ 2^{\grave{q}} \nmid n! }[/math] für maximales [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Damit ist [math]\displaystyle{ n! = 2^q(\hat{u} + 1) }[/math] für [math]\displaystyle{ u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und zwingend [math]\displaystyle{ n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1) }[/math]. Die Primfaktorzerlegung von [math]\displaystyle{ n! }[/math] erfordert dann [math]\displaystyle{ n \le 7 }[/math], was die Behauptung ergibt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Umkehrsatz für Taylorreihen

Für [math]\displaystyle{ y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b }[/math] und [math]\displaystyle{ y^{\prime}(a) \ne 0 }[/math] ergibt der Satz von Bürmann:

[math]\displaystyle{ f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Einzelnachweise

  1. Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.