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Satz des Monats

Gegenläufigkeitssatz

Durchläuft der Weg [math]\gamma: [a, b[ \; \cap \; C \rightarrow V[/math] mit [math]C \subseteq \mathbb{R}[/math] die Kanten aller [math]n[/math]-Würfel mit der Seitenlänge d0 im [math]n[/math]-Volumen [math]V \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}[/math] mit [math]n \in \mathbb{N}_{\ge 2}[/math] genau einmal, wobei in allen Seitenflächen der [math]n[/math]-Würfel alle paarweise gegenüberliegenden Seiten in jeweils gegenläufiger Richtung, aber einheitlich traversiert werden, so gilt für [math]D \subseteq \mathbb{R}^{2}, B \subseteq {V}^{2}, f = ({f}_{1}, ..., {f}_{n}): V \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{n}, \gamma(t) = x, \gamma(\curvearrowright D t) = \curvearrowright B x[/math] und [math]{V}_{\curvearrowright } := \{\curvearrowright B x \in V: x \in V, \curvearrowright B x \ne \curvearrowleft B x\}[/math]


[math]\int\limits_{t \in [a,b[ \; \cap \; C}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} (x,\curvearrowright B\,x) \\ \in V\times {{V}_{\curvearrowright}} \end{smallmatrix}}{f(x)dBx}=\int\limits_{\begin{smallmatrix} t \in [a,b[ \; \cap \; C, \\ \gamma | {\partial{}^{\acute{n}}} V \end{smallmatrix}}{f(\gamma (t)){{{{\gamma }'}}_{\curvearrowright }}(t)dDt}.[/math]

Beweis:

Bei Betrachten zweier beliebiger Quadrate mit gemeinsamer Kante der Länge d0, die in einer Ebene liegen, werden nur die Kanten von [math]V\times{V}_{\curvearrowright}[/math] nicht in beiden Richtungen bei gleichem Funktionswert durchlaufen. Sie liegen alle und damit der zu durchlaufende Weg genau in [math]{\partial}^{\acute{n}}V.\square[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik