Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen
(Satz von Green) |
K (→Umkehrsatz für Taylorreihen) |
||
(23 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
= Willkommen bei MWiki = | = Willkommen bei MWiki = | ||
− | == | + | == Sätze des Monats == |
− | === | + | === Anzahlsatz der algebraischen Zahlen === |
− | Mit <math> | + | Mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math> haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad <math>m</math> und damit allgemein asymptotisch die Anzahl <math>\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right)</math>, wobei <math>z(m)</math> die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist. |
==== Beweis: ==== | ==== Beweis: ==== | ||
− | Der | + | Der Fall <math>m = 1</math> erfordert nach <ref name="Scheid">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.</ref> den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> und gibt die Anzahl <math>4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1</math> der rationalen Zahlen über die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion wieder. Für <math>m > 1</math> ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit <math>\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1</math> werden durch <math>1/\zeta(\grave{m})</math> ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen <math>p</math> aller <math>(1 - {p}^{-\grave{m}})</math>, die hier Vielfache der <math>p</math> entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.<math>\square</math> |
+ | |||
+ | === Satz von Brocard === | ||
+ | Es gilt <math>\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.</math> | ||
+ | |||
+ | ==== Beweis: ==== | ||
+ | Aus <math>n! = \acute{m}\grave{m}</math> folgt <math>m = \hat{r} \pm 1</math> für <math>r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und <math>n \ge 3</math>. Also ist <math>n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)</math> mit <math>s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Gelte <math>2^q \mid n!</math> und <math>2^{\grave{q}} \nmid n!</math> für maximales <math>q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Damit ist <math>n! = 2^q(\hat{u} + 1)</math> für <math>u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und zwingend <math>n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)</math>. Die Primfaktorzerlegung von <math>n!</math> erfordert dann <math>n \le 7</math>, was die Behauptung ergibt.<math>\square</math> | ||
+ | |||
+ | === Umkehrsatz für Taylorreihen === | ||
+ | Für <math>y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b</math> und <math>y^{\prime}(a) \ne 0</math> ergibt der [[w:Lagrangesche_Inversionsformel#Formel_von_Lagrange-Bürmann|<span class="wikipedia">Satz von Bürmann</span>]]:<div style="text-align:center;"><math>f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}{\tilde{\varepsilon}}^{\acute{m}}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square</math></div> | ||
== Leseempfehlung == | == Leseempfehlung == | ||
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik] | [https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik] | ||
+ | |||
+ | == Einzelnachweise == | ||
+ | <references /> | ||
[[en:Main Page]] | [[en:Main Page]] |
Version vom 18. Juli 2024, 00:21 Uhr
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Anzahlsatz der algebraischen Zahlen
Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl [math]\displaystyle{ \mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.
Beweis:
Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Satz von Brocard
Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}. }[/math]
Beweis:
Aus [math]\displaystyle{ n! = \acute{m}\grave{m} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ m = \hat{r} \pm 1 }[/math] für [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \ge 3 }[/math]. Also ist [math]\displaystyle{ n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1) }[/math] mit [math]\displaystyle{ s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Gelte [math]\displaystyle{ 2^q \mid n! }[/math] und [math]\displaystyle{ 2^{\grave{q}} \nmid n! }[/math] für maximales [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Damit ist [math]\displaystyle{ n! = 2^q(\hat{u} + 1) }[/math] für [math]\displaystyle{ u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und zwingend [math]\displaystyle{ n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1) }[/math]. Die Primfaktorzerlegung von [math]\displaystyle{ n! }[/math] erfordert dann [math]\displaystyle{ n \le 7 }[/math], was die Behauptung ergibt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Umkehrsatz für Taylorreihen
Für [math]\displaystyle{ y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b }[/math] und [math]\displaystyle{ y^{\prime}(a) \ne 0 }[/math] ergibt der Satz von Bürmann:
Leseempfehlung
Einzelnachweise
- ↑ Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.