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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Leibnizsche Differentiationsregel ===
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=== Anzahlsatz der algebraischen Zahlen ===
  
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Für <math>f: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{\grave{n}} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, a, b: {}^{(\omega)}\mathbb{K}^{n} \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, \curvearrowright x := {(s, {x}_{2}, ..., {x}_{n})}^{T}</math> und <math>s \in {}^{(\omega)}\mathbb{K} \setminus \{{x}_{1}\}</math> gilt bei Wahl von <math>\curvearrowright a(x) = a(\curvearrowright x)</math> und <math>\curvearrowright b(x) = b(\curvearrowright x)</math><div style="text-align:center;"><math>\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright x,a(x)).</math></div>
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Mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math> haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad <math>m</math> und damit allgemein asymptotisch die Anzahl <math>\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right)</math>, wobei <math>z(m)</math> die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.
  
 
==== Beweis: ====
 
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<div style="text-align:center;"><math>\begin{aligned}\tfrac{{\downarrow} }{{\downarrow} {{x}_{1}}}\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right) &={\left( {\uparrow}_{a(\curvearrowright x)}^{b(\curvearrowright x)}{f(\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{f(x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\left( {\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{(f(\curvearrowright x,t)-f(x,t)){\downarrow}t}+{\uparrow}_{b(x)}^{b(\curvearrowright x)}{f(\curvearrowright x,t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{a(x)}^{a(\curvearrowright x)}{f(\curvearrowright x,t){\downarrow}t} \right)}/{{\downarrow} {{x}_{1}}}\; \\ &={\uparrow}_{a(x)}^{b(x)}{\tfrac{{\downarrow} f(x,t)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}{\downarrow}t}+\tfrac{{\downarrow} b(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright x,b(x))-\tfrac{{\downarrow} a(x)}{{\downarrow} {{x}_{1}}}f(\curvearrowright x,a(x)).\square\end{aligned}</math></div>
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Der Fall <math>m = 1</math> erfordert nach <ref name="Scheid">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.</ref> den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> und gibt die Anzahl <math>4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1</math> der rationalen Zahlen über die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion wieder. Für <math>m > 1</math> ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit <math>\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1</math> werden durch <math>1/\zeta(\grave{m})</math> ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen <math>p</math> aller <math>(1 - {p}^{-\grave{m}})</math>, die hier Vielfache der <math>p</math> entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.<math>\square</math>
  
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=== Satz von Beal ===
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=== Satz von Brocard ===
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Für <math>a^m + b^n = c^k</math> mit <math>a, b, c \in \mathbb{N}^{*}</math> und <math>k, m, n \in \mathbb{N}_{\ge 3}</math> gilt ggT<math>(a, b, c) > 1.</math>
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Es gilt <math>\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.</math>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Aus <math>b^n = (c^{kq}-a^{mr})\left(c^{-k\acute{q}} + a^{-m\acute{r}}\right) = c^k - a^m - a^{mr}c^{-k\acute{q}} + a^{-m\acute{r}} c^{kq}</math> folgt, dass die Funktion <math>f(q,r) := a^{m(\hat{r}-1)} - c^{k(\hat{q}-1)} = 0</math> stetig in <math>q, r \in {}^{\omega} \mathbb{R}_{>0}</math> ist und insbesondere die Lösung <math>(q, r) = (\tilde{2}, \tilde{2})</math> besitzt. Jede weitere Lösung in Brüchen ergibt nach Potenzieren ggT<math>(a, c) > 1</math> und damit die Behauptung.<math>\square</math>
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Aus <math>n! = \acute{m}\grave{m}</math> folgt <math>m = \hat{r} \pm 1</math> für <math>r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und <math>n \ge 3</math>. Also ist <math>n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)</math> mit <math>s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Gelte <math>2^q \mid n!</math> und <math>2^{\grave{q}} \nmid n!</math> für maximales <math>q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Damit ist <math>n! = 2^q(\hat{u} + 1)</math> für <math>u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und zwingend <math>n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)</math>. Die Primfaktorzerlegung von <math>n!</math> erfordert dann <math>n \le 7</math>, was die Behauptung ergibt.<math>\square</math>
  
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===Folgerung: ===
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=== Umkehrsatz für Taylorreihen ===
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Die Fermat-Catalan-Vermutung lässt sich analog beweisen und ein unendlicher Abstieg wegen ggT<math>(a,b,c)>1</math> ergibt, dass <math>a^n+b^n=c^n</math> von keinem <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 3}</math> für beliebige <math>a,b,c \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> erfüllt wird.<math>\square</math>
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Für <math>y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b</math> und <math>y^{\prime}(a) \ne 0</math> ergibt der [[w:Lagrangesche_Inversionsformel#Formel_von_Lagrange-Bürmann|<span class="wikipedia">Satz von Bürmann</span>]]:<div style="text-align:center;"><math>f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}{\tilde{\varepsilon}}^{\acute{m}}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square</math></div>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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== Einzelnachweise ==
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<references />
  
 
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Version vom 18. Juli 2024, 00:21 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Anzahlsatz der algebraischen Zahlen

Mit der Riemannschen Zetafunktion [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad [math]\displaystyle{ m }[/math] und damit allgemein asymptotisch die Anzahl [math]\displaystyle{ \mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right) }[/math], wobei [math]\displaystyle{ z(m) }[/math] die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.

Beweis:

Der Fall [math]\displaystyle{ m = 1 }[/math] erfordert nach [1] den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] und gibt die Anzahl [math]\displaystyle{ 4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1 }[/math] der rationalen Zahlen über die eulersche [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]-Funktion wieder. Für [math]\displaystyle{ m \gt 1 }[/math] ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm [math]\displaystyle{ \mathcal{O}({_e}n n) }[/math] noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit [math]\displaystyle{ \text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1 }[/math] werden durch [math]\displaystyle{ 1/\zeta(\grave{m}) }[/math] ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen [math]\displaystyle{ p }[/math] aller [math]\displaystyle{ (1 - {p}^{-\grave{m}}) }[/math], die hier Vielfache der [math]\displaystyle{ p }[/math] entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Brocard

Es gilt [math]\displaystyle{ \{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}. }[/math]

Beweis:

Aus [math]\displaystyle{ n! = \acute{m}\grave{m} }[/math] folgt [math]\displaystyle{ m = \hat{r} \pm 1 }[/math] für [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ n \ge 3 }[/math]. Also ist [math]\displaystyle{ n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1) }[/math] mit [math]\displaystyle{ s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Gelte [math]\displaystyle{ 2^q \mid n! }[/math] und [math]\displaystyle{ 2^{\grave{q}} \nmid n! }[/math] für maximales [math]\displaystyle{ q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math]. Damit ist [math]\displaystyle{ n! = 2^q(\hat{u} + 1) }[/math] für [math]\displaystyle{ u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*} }[/math] und zwingend [math]\displaystyle{ n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1) }[/math]. Die Primfaktorzerlegung von [math]\displaystyle{ n! }[/math] erfordert dann [math]\displaystyle{ n \le 7 }[/math], was die Behauptung ergibt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Umkehrsatz für Taylorreihen

Für [math]\displaystyle{ y \in f(\mathbb{D}), y(a) = b }[/math] und [math]\displaystyle{ y^{\prime}(a) \ne 0 }[/math] ergibt der Satz von Bürmann:

[math]\displaystyle{ f^{-1}(y) = a + \tilde{n} {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^n{\widetilde{m}{\tilde{\varepsilon}}^{\acute{m}}(y - b)^m({\tilde{u}}^{\acute{m}k})^T(f(\varepsilon u^k + a)^{-m})}+\mathcal{O}(\varepsilon^n).\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

Einzelnachweise

  1. ↑ Scheid, Harald: Zahlentheorie : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.
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