Multinomialtheorem: Unterschied zwischen den Versionen

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=== Satz (binomische Reihe) ===
 
=== Satz (binomische Reihe) ===
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Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\grave{\alpha}-n)</math> und <math>\left|\binom{\alpha}{\grave{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|&lt;1</math> für alle <math>m \ge \nu</math> und <math>\binom{\alpha}{0}:=1</math> ergibt sich mit <math>z \in \mathbb{D}^\ll</math> bzw. <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> für <math>\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> die [[w:Taylorreihe|<span class="wikipedia">Taylorreihe</span>]] um 0 durch [[w:Differentialrechnung|<span class="wikipedia">Ableitung</span>]]
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Aus <math>\alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\overset{\scriptsize{\grave{}}}{\alpha}-n)</math> und <math>\left|\binom{\alpha}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|&lt;1</math> für alle <math>m \ge \nu</math> und <math>\binom{\alpha}{0}:=1</math> ergibt sich mit <math>z \in \mathbb{D}^\ll</math> bzw. <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> für <math>\alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> die [[w:Taylorreihe|<span class="wikipedia">Taylorreihe</span>]] um 0 die Gleichung
  
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<div style="text-align:center;"><math>{\grave{z}}^\alpha={+}_{n=0}^{\omega}{\binom{\alpha}{n}z^n}.\square</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{z}}^\alpha={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{n=0}^{\omega}{\tbinom{\alpha}{n}z^n}.\square</math></div>
  
 
=== Multinomialsatz ===
 
=== Multinomialsatz ===
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Für <math>z, \zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, k, m \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, z^n := z_1^{n_1} ... z_k^{n_k}</math> und <math>\binom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!\;(k \ge 2)</math> gilt
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Für <math>\zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}, z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}_{\ge 2}, m, n_j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, |n| := {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{j=1}^{k}{n_j}, z^n := {\times}_{j=1}^{k}{{z_j}^{n_j}}</math> und <math>\tbinom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m!</math> gilt
  
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<div style="text-align:center;"><math>\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m={+}_{n\underline{1}_k=m}{\binom{m}{n}z^n}.</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>(1{\upharpoonleft}_k^Tz)^m={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}.</math></div>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\grave{k}</math> durch Zusammenfassung der letzten beiden Summanden für <math>p \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math>:
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Die Fälle <math>k \in \{1, 2\}</math> sind klar. [[w:Vollständige Induktion|<span class="wikipedia">Induktionsschritt</span>]] von <math>k</math> nach <math>\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}</math> mit <math>\tbinom{m}{n} = \tbinom{m}{n_1, ...,n_{\acute{k}},p}\tbinom{p}{n_k, n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}}</math> und <math>p=n_k+n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}</math>:
  
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<div style="text-align:center;"><math>({(1,z^T){\underline{1}}_{\grave{k}})}^m={+}_{{(n_0,n)\underline{1}}_{\grave{k}}=m}{\binom{m}{n_0,n}z^n}</math> wegen <math>\binom{m}{n_1,...,n_{k-2},p} \binom{p}{n_{\grave{k}},n_k} = \binom{m}{n_1,...,n_k}.</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>\left.{({1{\upharpoonleft}_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}^Tz})^m}\right |_{\zeta_{k}=z_k+z_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}}=\left.{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}\right |_{{\eta}_k!={n_k!}{n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}!}} = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}</math></div>
  
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Induktionsschritt von <math>m</math> nach <math>\grave{m}</math> mit <math>\grave{n} := n+(1,0, ... ,0)</math> durch gliedweise [[w:Integralrechnung|<span class="wikipedia">Integration</span>]]:
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bzw. von <math>m</math> nach <math>\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}</math>:
  
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<div style="text-align:center;"><math>{\grave{m}{\uparrow}_{0}^{\zeta_1}{\left({\underline{1}}_k^Tz\right)^m{\downarrow}z_1}=\left.\left({\underline{1}}_k^T\zeta\right)^{\grave{m}}\right|_0^{{\zeta}_1}={+}_{{\grave{n}}{\underline{1}}_k=\grave{m}}\binom{\grave{m}}{\grave{n}}z^{\grave{n}}}.\square</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>{}\,\;\;\;(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} =\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}\left.{(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)}^m\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}=\left.\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^{n}}\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}|=\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\tbinom{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}z^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}}.\square</math></div>
  
 
=== Allgemeine Leibnizsche Produktregel ===
 
=== Allgemeine Leibnizsche Produktregel ===
−
Mit <math>{\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k}</math> und <math>{\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j}</math> folgt für <math>m^T, n^T \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^{k}, j, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}^*</math> und differenzierbares <math>f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> aus dem Multinomialsatz
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Mit <math>{\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k}</math> und <math>{\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j}</math> folgt für <math>j, k, m, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}</math> und differenzierbares <math>f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> aus dem Multinomialsatz
  
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<div style="text-align:center;"><math>{\downarrow}^mf = {+}_{n\underline{1}_k=||m||_1}{\binom{||m||_1}{n}{\downarrow}^nf}.\square</math></div>
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<div style="text-align:center;"><math>{\downarrow}^mf = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\binom{m}{n}{\downarrow}^nf}.\square</math></div>
  
 
== Siehe auch ==
 
== Siehe auch ==

Aktuelle Version vom 31. Juli 2024, 00:18 Uhr

Satz (binomische Reihe)

Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\overset{\scriptsize{\grave{}}}{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 die Gleichung

[math]\displaystyle{ {\overset{\scriptsize{\grave{}}}{z}}^\alpha={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{n=0}^{\omega}{\tbinom{\alpha}{n}z^n}.\square }[/math]

Multinomialsatz

Für [math]\displaystyle{ \zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}, z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}_{\ge 2}, m, n_j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, |n| := {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{j=1}^{k}{n_j}, z^n := {\times}_{j=1}^{k}{{z_j}^{n_j}} }[/math] und [math]\displaystyle{ \tbinom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m! }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ (1{\upharpoonleft}_k^Tz)^m={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}. }[/math]

Beweis:

Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \overset{\scriptsize{\grave{}}}{k} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \tbinom{m}{n} = \tbinom{m}{n_1, ...,n_{\acute{k}},p}\tbinom{p}{n_k, n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}} }[/math] und [math]\displaystyle{ p=n_k+n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.{({1{\upharpoonleft}_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}^Tz})^m}\right |_{\zeta_{k}=z_k+z_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}}=\left.{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}\right |_{{\eta}_k!={n_k!}{n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}!}} = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n} }[/math]

bzw. von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \overset{\scriptsize{\grave{}}}{m} }[/math]:

[math]\displaystyle{ {}\,\;\;\;(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} =\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}\left.{(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)}^m\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}=\left.\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^{n}}\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}|=\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\tbinom{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}z^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}}.\square }[/math]

Allgemeine Leibnizsche Produktregel

Mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ j, k, m, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz

[math]\displaystyle{ {\downarrow}^mf = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\binom{m}{n}{\downarrow}^nf}.\square }[/math]

Siehe auch

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