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(Universelles Mehrschrittverfahren, Satz von Goldbach und Fundierungssatz)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Sätze des Monats ==
 
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=== Primzahlsatz ===
  
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=== Universelles Mehrschrittverfahren ===
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Für <math>\pi(x) := |\{p \in {\mathbb{P}_{\le x}} : x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|</math> gilt <math>\pi(\omega) = \widetilde{{_\epsilon}\omega}\,\omega + \mathcal{O}({_\epsilon}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}})</math>.
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Mit <math>n \in {}^{\nu}\mathbb{N}_{\le p}, k, m, p \in {}^{\nu}\mathbb{N}^{*}, {\downarrow}\overset{\rightharpoonup}{x} \in\, ]0, 1[, x \in [a, b] \subseteq {}^{\omega}\mathbb{R}, y : [a, b] \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q,</math> <math>f : [a, b] \times {}^{\omega}\mathbb{R}^{q \times n} \rightarrow {}^{\omega}\mathbb{R}^q, g_k(\overset{\rightharpoonup}{x}) := g_{\acute{k}}(x)</math> und <math>g_0(a) = f(\overset{\leftharpoonup}{a}, y_0, ... , y_{\acute{n}})</math> ergibt die <abbr title="Taylorreihe">TR</abbr> des Anfangswertproblems <math>n</math>-ter Ordnung <math>y^\prime(x) = f(x, y((\rightharpoonup)^0 x), ... , y((\rightharpoonup)^{\acute{n}} x))</math><div style="text-align:center;"><math>y(\overset{\rightharpoonup}{x}) = y(x) + {\downarrow}\overset{\rightharpoonup}{x}{\pm}_{k=1}^{p}{\left (g_{p-k}(\overset{\rightharpoonup}{x}){\LARGE{\textbf{+}}}_{m=k}^{p}{\widetilde{m!}\tbinom{\acute{m}}{\acute{k}}}\right )} + \mathcal{O}(({\downarrow}\overset{\rightharpoonup}{x})^{\grave{p}}).\square</math></div>
 
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=== Satz von Goldbach ===
 
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Jede gerade Zahl <math>&gt; 2</math> ist Summe zweier Primzahlen.
 
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Mit <math>\hat{m} + \hat{n} = p_{m+r,n-r} + q_{m+r,n-r} + r, r \in \{0, 2, … , \max(g(n))\}</math> gilt zugleich <math>\hat{m} + \hat{n} = p_{m+s,n-s} + q_{m+s,n-s} + s,</math> <math>s \in \{0, 2, … , \max(g(n)) + 2\}</math>. Daraus folgt <math>\hat{m} + \hat{n} + 2 = p_{\grave{m}+r,\grave{n}-r} + q_{\grave{m}+r,\grave{n}-r} + r, r \in \{0, 2, … , \max(g(\grave{n}))\}</math>. Vollständige Induktion liefert dann die Behauptung mit dem vorigen Satz.<math>\square</math>
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Intervalle fester Länge <math>y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}}</math> erlauben <math>\check{y}</math> Mengen-2-Tupel von Primzahlen|Primzahl so zu bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.  Die Stirlingformel legt die Primzahllücke <math>n = {\epsilon}^{\sigma} = \mathcal{O}({_\epsilon}(n!))</math> mit <math>n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}</math> nahe.
  
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=== Fundierungssatz ===
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Impliziert der Induktionsanfang <math>n = 2</math> bzw. 3 die Annahme, dass mit <math>x_4 \in [2, 4[</math> das erste Intervall <math>x_n/{_\epsilon}x_n</math> Primzahlen enthält, so beweist der Schritt von <math>x_n</math> nach <math>x_n^2</math>, dass <math>\pi(x_n^2) = \pi(x_n) {\check{x}}_n</math> Primzahlen nur aus <math>\pi(x_n) = x_n/{_\epsilon}x_n</math> folgen. Die Primzahllücke beträgt durchschnittlich <math>{_\epsilon}x_n</math>, maximal <math>{_\epsilon}x_n^2</math> und die maximale Entsprechung von <math>x_n^2</math> zu <math>x_n</math> ist <math>\omega</math> zu <math>{\omega}^{\tilde{2}}.\square</math>
  
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Erst die Forderung des Fundierungsaxioms, dass jede nichtleere Teilmenge <math>X \subseteq Y</math> ein Element <math>x_0</math> enthält, sodass <math>X</math> und <math>x_0</math> disjunkt sind, garantiert Zyklenfreiheit.
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=== Satz von Gelfond-Schneider ===
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Mit <math>a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus \mathbb{B}</math> und infinitesimalem <math>\varepsilon, b \in {}^{\omega}\mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus {}^{\omega}\mathbb{Q}</math> gilt <math>a^b \notin {}_{\omega}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}</math>.
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Es wird <math>X := \{x_m : x_0 := \{\emptyset\}, x_{\omega} := \{x_1\}</math> und <math>x_{\acute{n}} := \{x_n\}</math> mit <math>m \in {}^{\omega}\mathbb{N}</math> und <math>n \in {}^{\omega}\mathbb{N}_{\ge 2}\}</math> gesetzt.<math>\square</math>
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Die Minimalpolynome <math>p</math> (und <math>q</math>) von <math>c^r</math> bzw. <math>c^{r\pm\varepsilon} = a^b</math> mit maximalem <math>r \in {}^{\omega}\mathbb{Q}_{>0}</math> und <math>f = p\;(q)</math> ergeben den Widerspruch <math>{}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}) \ne 0 = (f(c^r) - f(c^{r\pm\varepsilon})) / (c^r - c^{r\pm\varepsilon}) = {}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}).\square</math>
  
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== MWiki zieht um! ==
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Die neue URL lautet: [https://de.hwiki.de/mathe.html HWiki]
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Aktuelle Version vom 31. Juli 2024, 17:49 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Primzahlsatz

Für [math]\displaystyle{ \pi(x) := |\{p \in {\mathbb{P}_{\le x}} : x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}| }[/math] gilt [math]\displaystyle{ \pi(\omega) = \widetilde{{_\epsilon}\omega}\,\omega + \mathcal{O}({_\epsilon}\omega\;{\omega}^{\tilde{2}}) }[/math].

Beweis:

Intervalle fester Länge [math]\displaystyle{ y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{\gt 0}} }[/math] erlauben [math]\displaystyle{ \check{y} }[/math] Mengen-2-Tupel von Primzahlen|Primzahl so zu bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw. Die Stirlingformel legt die Primzahllücke [math]\displaystyle{ n = {\epsilon}^{\sigma} = \mathcal{O}({_\epsilon}(n!)) }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}} }[/math] nahe.

Impliziert der Induktionsanfang [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] bzw. 3 die Annahme, dass mit [math]\displaystyle{ x_4 \in [2, 4[ }[/math] das erste Intervall [math]\displaystyle{ x_n/{_\epsilon}x_n }[/math] Primzahlen enthält, so beweist der Schritt von [math]\displaystyle{ x_n }[/math] nach [math]\displaystyle{ x_n^2 }[/math], dass [math]\displaystyle{ \pi(x_n^2) = \pi(x_n) {\check{x}}_n }[/math] Primzahlen nur aus [math]\displaystyle{ \pi(x_n) = x_n/{_\epsilon}x_n }[/math] folgen. Die Primzahllücke beträgt durchschnittlich [math]\displaystyle{ {_\epsilon}x_n }[/math], maximal [math]\displaystyle{ {_\epsilon}x_n^2 }[/math] und die maximale Entsprechung von [math]\displaystyle{ x_n^2 }[/math] zu [math]\displaystyle{ x_n }[/math] ist [math]\displaystyle{ \omega }[/math] zu [math]\displaystyle{ {\omega}^{\tilde{2}}.\square }[/math]

Satz von Gelfond-Schneider

Mit [math]\displaystyle{ a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus \mathbb{B} }[/math] und infinitesimalem [math]\displaystyle{ \varepsilon, b \in {}^{\omega}\mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus {}^{\omega}\mathbb{Q} }[/math] gilt [math]\displaystyle{ a^b \notin {}_{\omega}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} }[/math].

Beweis:

Die Minimalpolynome [math]\displaystyle{ p }[/math] (und [math]\displaystyle{ q }[/math]) von [math]\displaystyle{ c^r }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ c^{r\pm\varepsilon} = a^b }[/math] mit maximalem [math]\displaystyle{ r \in {}^{\omega}\mathbb{Q}_{\gt 0} }[/math] und [math]\displaystyle{ f = p\;(q) }[/math] ergeben den Widerspruch [math]\displaystyle{ {}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}) \ne 0 = (f(c^r) - f(c^{r\pm\varepsilon})) / (c^r - c^{r\pm\varepsilon}) = {}^1f(c^{r(\pm\varepsilon)}).\square }[/math]

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Leseempfehlung

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