Multinomialtheorem

Satz (binomische Reihe)

Aus [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\nu)}\mathbb{C}, \binom{\alpha}{n}:=\widetilde{n!}\alpha\acute{\alpha}...(\overset{\scriptsize{\grave{}}}{\alpha}-n) }[/math] und [math]\displaystyle{ \left|\binom{\alpha}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}/\binom{\alpha}{m}\right|<1 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ m \ge \nu }[/math] und [math]\displaystyle{ \binom{\alpha}{0}:=1 }[/math] ergibt sich mit [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{D}^\ll }[/math] bzw. [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] für [math]\displaystyle{ \alpha \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] die Taylorreihe um 0 die Gleichung

[math]\displaystyle{ {\overset{\scriptsize{\grave{}}}{z}}^\alpha={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{n=0}^{\omega}{\tbinom{\alpha}{n}z^n}.\square }[/math]

Multinomialsatz

Für [math]\displaystyle{ \zeta \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}, z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}^{k}, k \in {}^{(\omega)}\mathbb{N}_{\ge 2}, m, n_j \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, |n| := {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{j=1}^{k}{n_j}, z^n := {\times}_{j=1}^{k}{{z_j}^{n_j}} }[/math] und [math]\displaystyle{ \tbinom{m}{n} := \widetilde{n_1! ... {n}_k!}m! }[/math] gilt

[math]\displaystyle{ (1{\upharpoonleft}_k^Tz)^m={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}. }[/math]

Beweis:

Die Fälle [math]\displaystyle{ k \in \{1, 2\} }[/math] sind klar. Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ k }[/math] nach [math]\displaystyle{ \overset{\scriptsize{\grave{}}}{k} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \tbinom{m}{n} = \tbinom{m}{n_1, ...,n_{\acute{k}},p}\tbinom{p}{n_k, n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}} }[/math] und [math]\displaystyle{ p=n_k+n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left.{({1{\upharpoonleft}_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}^Tz})^m}\right |_{\zeta_{k}=z_k+z_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}}=\left.{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n}\right |_{{\eta}_k!={n_k!}{n_{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{k}}!}} = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^n} }[/math]

bzw. von [math]\displaystyle{ m }[/math] nach [math]\displaystyle{ \overset{\scriptsize{\grave{}}}{m} }[/math]:

[math]\displaystyle{ {}\,\;\;\;(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} =\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}\left.{(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)}^m\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}=\left.\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}{\uparrow}_{0}^{z_j}{{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\tbinom{m}{n}z^{n}}\right |_{z_j=\zeta}{{\downarrow}\zeta}+\left.(1{\upharpoonleft}_{k}^T z)^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}} \right |_{z_j=0}={{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}|=\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\tbinom{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{m}}{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}z^{\overset{\scriptsize{\grave{}}}{n}}}.\square }[/math]

Allgemeine Leibnizsche Produktregel

Mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}^n := {\downarrow}_1^{n_1}...{\downarrow}_k^{n_k} }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow}_j^{n_j} := {\downarrow}^{n_j}/{\downarrow}{z_j}^{n_j} }[/math] folgt für [math]\displaystyle{ j, k, m, n \in {}^{(\omega)}\mathbb{N} }[/math] und differenzierbares [math]\displaystyle{ f = f_1\cdot...\cdot f_k \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] aus dem Multinomialsatz

[math]\displaystyle{ {\downarrow}^mf = {{\LARGE{\textbf{+}}}}_{|n|=m}{\binom{m}{n}{\downarrow}^nf}.\square }[/math]

Siehe auch

• Liste mathematischer Symbole
• Multinomialtheorem