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== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
Aktuelle Version vom 25. Juli 2022, 15:49 Uhr
Für jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in \mathbb{C} }[/math] gibt es ein [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].
Indirekter Beweis: Durch affin-lineare Variablensubstitutionen lässt sich [math]\displaystyle{ 1/p(0) \ne \mathcal{O}(\iota) }[/math] erreichen. Da [math]\displaystyle{ f(z) := 1/p(z) }[/math] holomorph ist, falls [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C} }[/math] angenommen wird, gilt [math]\displaystyle{ f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota) }[/math]. Die Mittelwertungleichung[1] [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in \mathbb{R}_{>0} }[/math] ergibt dann [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\iota) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Siehe auch
Einzelnachweis
- ↑ Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 160.