Hauptsätze der Analysis: Unterschied zwischen den Versionen
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− | '''Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale:''' Die Funktion <math>F(z)={\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in G = [a, b[ \, \cap \, C</math> bei Wahl von <math>{} | + | '''Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale:''' Die Funktion <math>F(z)={\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in G = [a, b[ \, \cap \, C</math> bei Wahl von <math>\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(x) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{x})</math> exakt differenzierbar und es gilt für alle <math>x \in G</math> und <math>z = \gamma(x)</math> |
<div style="text-align:center;"><math>F^{\prime}(z) = f(z).</math></div> | <div style="text-align:center;"><math>F^{\prime}(z) = f(z).</math></div> | ||
− | <table style="width:100%"><tr><td style="vertical-align: top; padding-top: 1em;">'''Beweis:'''</td><td style="text-align: center; font-size: 84%;"><math>\begin{aligned}{\downarrow}F(z) &={\uparrow}_{ | + | <table style="width:100%"><tr><td style="vertical-align: top; padding-top: 1em;">'''Beweis:'''</td><td style="text-align: center; font-size: 84%;"><math>\begin{aligned}{\downarrow}(F(z)) &={\uparrow}_{s\in [d,x] \cap C}{f(\gamma (s)){{\gamma}^{\prime}}(s){\downarrow}s}-{\uparrow}_{s\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (s)){{\gamma }^{\prime}}(s){\downarrow}s} ={\uparrow}_{x}{f(\gamma (s))\tfrac{\gamma (\overset{\rightharpoonup}{s})-\gamma (s)}{\overset{\rightharpoonup}{s}-s}{\downarrow}s} \\ &=f(\gamma (x)){{\gamma}^{\prime}}(x){\downarrow}x =\,f(\gamma (x))(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(x)-\gamma (x))=f(z){\downarrow}z.\square\end{aligned}</math></td></tr></table> |
'''Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale:''' Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit <math>\gamma: G \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math> | '''Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale:''' Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit <math>\gamma: G \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math> | ||
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− | <table style="width:100%"><tr><td style="vertical-align: top; padding-top: 0.4em;">'''Beweis:'''</td><td style="text-align: center; font-size: 84%;"><math> | + | <table style="width:100%"><tr><td style="vertical-align: top; padding-top: 0.4em;">'''Beweis:'''</td><td style="text-align: center; font-size: 84%;"><math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))</math> <math>={\Large{+}}_{s\in G}{F(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s))}-F(\gamma (s))</math> <math>={\Large{+}}_{s\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (s))(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s)-\gamma(s))}</math> <math>={\uparrow}_{s\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (s)){{\gamma }^{\prime}}(s){\downarrow}s}</math> <math>={\uparrow}_{\gamma }{{{F}^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.\square</math></td></tr></table> |
== Siehe auch == | == Siehe auch == |
Aktuelle Version vom 1. Mai 2024, 18:04 Uhr
Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Die Funktion [math]\displaystyle{ F(z)={\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta } }[/math] ist mit [math]\displaystyle{ \gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in G = [a, b[ \, \cap \, C }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ \overset{\rightharpoonup}{\gamma}(x) = \gamma(\overset{\rightharpoonup}{x}) }[/math] exakt differenzierbar und es gilt für alle [math]\displaystyle{ x \in G }[/math] und [math]\displaystyle{ z = \gamma(x) }[/math]
Beweis: | [math]\displaystyle{ \begin{aligned}{\downarrow}(F(z)) &={\uparrow}_{s\in [d,x] \cap C}{f(\gamma (s)){{\gamma}^{\prime}}(s){\downarrow}s}-{\uparrow}_{s\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (s)){{\gamma }^{\prime}}(s){\downarrow}s} ={\uparrow}_{x}{f(\gamma (s))\tfrac{\gamma (\overset{\rightharpoonup}{s})-\gamma (s)}{\overset{\rightharpoonup}{s}-s}{\downarrow}s} \\ &=f(\gamma (x)){{\gamma}^{\prime}}(x){\downarrow}x =\,f(\gamma (x))(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(x)-\gamma (x))=f(z){\downarrow}z.\square\end{aligned} }[/math] |
Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für Kurvenintegrale: Gemäß den Voraussetzungen von oben gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma: G \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K} }[/math]
Beweis: | [math]\displaystyle{ F(\gamma (b))-F(\gamma (a)) }[/math] [math]\displaystyle{ ={\Large{+}}_{s\in G}{F(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s))}-F(\gamma (s)) }[/math] [math]\displaystyle{ ={\Large{+}}_{s\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (s))(\overset{\rightharpoonup}{\gamma}(s)-\gamma(s))} }[/math] [math]\displaystyle{ ={\uparrow}_{s\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (s)){{\gamma }^{\prime}}(s){\downarrow}s} }[/math] [math]\displaystyle{ ={\uparrow}_{\gamma }{{{F}^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.\square }[/math] |