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(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante) |
(Drei-Kuben-Satz und Satz von Fickett) |
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− | + | Nach dem kleinen Satz von Fermat ist <math>k \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> genau dann Summe von drei Kuben, wenn für <math>2a_{1,2} = n \pm m</math> und <math>a, b, c, d, m, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}}</math> aus | |
− | = | + | <div style="text-align:center;"><math>k=(n - a)^3 + n^3 + (n + b)^3 = 3n^3 - a^3 + b^3+ 3c \ne \pm 4\mod 9</math></div> |
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+ | sowohl <math>(a^2 + b^2)n - (a - b)n^2 = c =: dn</math> als auch <math>m^2 = n^2 - 4(b^2 - bn + d)</math> folgt.<math>\square</math> | ||
− | === | + | === Satz von Fickett === |
− | + | Für jede Lage zweier überlappender kongruenter <math>n</math>-Quader <math>Q</math> und <math>R</math> mit <math>n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, m:= 2n - 1</math> und dem exakten Standardmaß <math>\mu</math> gilt, wobei <math>\mu</math> für <math>n = 2</math> durch die euklidische Weglänge <math>L</math> zu ersetzen ist: | |
− | + | <div style="text-align:center;"><math>\hat{m} < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < m.</math></div> | |
==== Beweis: ==== | ==== Beweis: ==== | ||
− | + | Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen <math>s</math> und <math>s + 2d0</math> hat, gilt min <math>r = s/(3s - 2d0) \le r \le</math> max <math>r = (3s - 2d0)/s</math>. Der Beweis für <math>n > 2</math> erfolgt analog.<math>\square</math> | |
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== Leseempfehlung == | == Leseempfehlung == | ||
Version vom 1. November 2021, 03:19 Uhr
Willkommen bei MWiki
Sätze des Monats
Drei-Kuben-Satz
Nach dem kleinen Satz von Fermat ist [math]\displaystyle{ k \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] genau dann Summe von drei Kuben, wenn für [math]\displaystyle{ 2a_{1,2} = n \pm m }[/math] und [math]\displaystyle{ a, b, c, d, m, n \in {}^{\omega }{\mathbb{Z}} }[/math] aus
sowohl [math]\displaystyle{ (a^2 + b^2)n - (a - b)n^2 = c =: dn }[/math] als auch [math]\displaystyle{ m^2 = n^2 - 4(b^2 - bn + d) }[/math] folgt.[math]\displaystyle{ \square }[/math]
Satz von Fickett
Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, m:= 2n - 1 }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] durch die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ L }[/math] zu ersetzen ist:
Beweis:
Da das zugrundeliegende Extremalproblem sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + 2d0 }[/math] hat, gilt min [math]\displaystyle{ r = s/(3s - 2d0) \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = (3s - 2d0)/s }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] erfolgt analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]