Hauptseite: Unterschied zwischen den Versionen
(Darstellungssätze für Integrale und Ableitungen) |
(Satz von Green) |
||
(3 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
= Willkommen bei MWiki = | = Willkommen bei MWiki = | ||
− | == | + | == Satz des Monats == |
− | === | + | === Satz von Green === |
− | + | Mit <math>h</math>-Gebiet <math>D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2}</math>, infinitesimalem <math>h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |{}^\curvearrowright \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m})</math>, hinreichend großem <math>m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D, {D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\}</math>, einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D</math> bei Wahl von <math>{}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)</math> gilt mit <math>t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2}</math> und hinreichend <math>\alpha</math>-stetigen Funktionen <math>u, v: D \rightarrow \mathbb{R}</math> mit ggf. nicht stetigen Ableitungen <math>{\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x</math> und <math>{\downarrow} v/{\downarrow} y</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{(u\,{\downarrow}x+v\,{\downarrow}y)}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right){\downarrow}(x,y)}.</math></div> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==== Beweis: ==== | ==== Beweis: ==== | ||
− | + | Der Beweis wird nur für <math>D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R}</math> geführt, da das jeweils um <math>\check{\pi}</math> gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem <math>h</math>-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf <div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}=-{\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.</math></div> Unter Vernachlässigung der Teile von <math>\gamma</math> mit <math>{\downarrow}x = 0</math> zum Kurvenintegral wie von <math>t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r)))</math> gilt<div style="text-align:center;"><math>-{\uparrow}_{\gamma }{u\,{\downarrow}x}-t={\uparrow}_{r}^{s}{u(x,g(x)){\downarrow}x}-{\uparrow}_{r}^{s}{u(x,f(x)){\downarrow}x}={\uparrow}_{r}^{s}{{\uparrow}_{f(x)}^{g(x)}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}}{\downarrow}y{\downarrow}x}={\uparrow}_{(x,y)\in {{D}^{-}}}{\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y}{\downarrow}(x,y)}.\square</math></div> | |
− | |||
− | == | ||
− | < | ||
== Leseempfehlung == | == Leseempfehlung == |
Version vom 1. Mai 2023, 03:25 Uhr
Willkommen bei MWiki
Satz des Monats
Satz von Green
Mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{R}^{2} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h = |{\downarrow}x|= |{\downarrow}y| = |{}^\curvearrowright \gamma(t) - \gamma(t)| = \mathcal{O}({\tilde{\omega}}^{m}) }[/math], hinreichend großem [math]\displaystyle{ m \in \mathbb{N}^{*}, (x, y) \in D, {D}^{-} := \{(x, y) \in D : (x + h, y + h) \in D\} }[/math], einem geschlossenen, im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Weg [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial D }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t) }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[, A \subseteq {[a, b]}^{2} }[/math] und hinreichend [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]-stetigen Funktionen [math]\displaystyle{ u, v: D \rightarrow \mathbb{R} }[/math] mit ggf. nicht stetigen Ableitungen [math]\displaystyle{ {\downarrow} u/{\downarrow} x, {\downarrow} u/{\downarrow} y, {\downarrow} v/{\downarrow} x }[/math] und [math]\displaystyle{ {\downarrow} v/{\downarrow} y }[/math]
Beweis:
Der Beweis wird nur für [math]\displaystyle{ D := \{(x, y) : r \le x \le s, f(x) \le y \le g(x)\}, r, s \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}, f, g : \partial D \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{R} }[/math] geführt, da das jeweils um [math]\displaystyle{ \check{\pi} }[/math] gedrehte Äquivalent analog resultiert mit jedem [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet als Vereinigung solcher Mengen. Da sich die fehlende Beziehung analog ergibt, beschränkt sich die Betrachtung auf
Unter Vernachlässigung der Teile von [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] mit [math]\displaystyle{ {\downarrow}x = 0 }[/math] zum Kurvenintegral wie von [math]\displaystyle{ t := h(u(s, g(s)) - u(r, g(r))) }[/math] gilt