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(Anzahlsatz der algebraischen Zahlen und Satz von Brocard)
(Primzahlsatz und Satz von Gelfond-Schneider)
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Anzahlsatz der algebraischen Zahlen ===
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=== Primzahlsatz ===
  
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Mit der Riemannschen Zetafunktion <math>\zeta</math> haben die algebraischen Zahlen vom Polynom- oder Reihengrad <math>m</math> und damit allgemein asymptotisch die Anzahl <math>\mathbb{A}(m, n) = \widetilde{\zeta(\grave{m})}\,z(m){{(2n+1)}^{m}}\left( n+\mathcal{O}({_e}n) \right)</math>, wobei <math>z(m)</math> die durchschnittliche Anzahl der Nullstellen eines Polynoms oder einer Reihe ist.
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Für <math>\pi(x) := |\{p \in {}^{\omega}{\mathbb{P}} : p \le x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|</math> gilt <math>\pi(\omega) = \widetilde{{_e}\omega}\omega + \mathcal{O}({_e}\omega{\omega}^{\tilde{2}})</math>.
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Der Fall <math>m = 1</math> erfordert nach <ref name="Scheid">[[w:Harald Scheid|<span class="wikipedia">Scheid, Harald</span>]]: ''Zahlentheorie'' : 1. Aufl.; 1991; Bibliographisches Institut; Mannheim; ISBN 9783411148417, S. 323.</ref> den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> und gibt die Anzahl <math>4{+}_{k=1}^{n}{\varphi (k)}-1</math> der rationalen Zahlen über die eulersche <math>\varphi</math>-Funktion wieder. Für <math>m > 1</math> ändern die Teilbarkeitsverhältnisse weder den Korrekturterm <math>\mathcal{O}({_e}n n)</math> noch den Hauptterm. Polynome und Reihen mit <math>\text{ggT}({a}_{0}, {a}_{1}, \text{…} , {a}_{m}) \ne 1</math> werden durch <math>1/\zeta(\grave{m})</math> ausgeschlossen: Letzteres ergibt die Produktbildung über die Primzahlen <math>p</math> aller <math>(1 - {p}^{-\grave{m}})</math>, die hier Vielfache der <math>p</math> entfernen und Summen geometrischer Reihen sind.<math>\square</math>
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Im Sieb des Eratosthenes nehmen die Primzahlanzahlen nahezu regelmäßig ab. Aus Intervallen fester Länge <math>y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{&gt;0}}</math> lassen sich <math>\hat{y}</math> Mengen-2-Tupel von Primzahlen so bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.
  
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=== Satz von Brocard ===
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Ist mit Induktionsanfang <math>n</math> = 2 bzw. 3 die Induktionsannahme, dass mit <math>n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}</math> und beliebigem <math>x_4 \in [2, 4[</math> das erste Intervall <math>x_n/{_e}x_n</math> Primzahlen enthält, so beweist die Betrachtung der Primzahllücken von primen <math>p\# /q + 1</math> mit <math>p, q \in {}^{\omega}\mathbb{P}</math> im Induktionsschritt von <math>x_n</math> nach <math>x_n^2</math>, dass sich dann <math>\pi(x_n^2) = \pi(x_n) \check{x}_n</math> Primzahlen nur aus <math>\pi(x_n) = x_n/{_e}x_n</math> ergeben. Der durchschnittliche Primzahlabstand beträgt <math>{_e}x_n</math> und die maximale Entsprechung von <math>x_n^2</math> zu <math>x_n</math> ist <math>\omega</math> zu <math>{\omega}^{\tilde{2}}.\square</math>
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Es gilt <math>\{(m, n) \in {}^{\omega} \mathbb{N}^2 : n! + 1 = m^2\} = \{(5, 4), (11, 5), (71, 7)\}.</math>
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=== Satz von Gelfond-Schneider ===
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Mit <math>a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R}</math> und <math>b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q</math> gilt <math>a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}</math>.
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Aus <math>n! = \acute{m}\grave{m}</math> folgt <math>m = \hat{r} \pm 1</math> für <math>r \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und <math>n \ge 3</math>. Also ist <math>n! = \hat{r}(\hat{r}\pm2) = 8s(\hat{s} \pm 1)</math> mit <math>s \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Gelte <math>2^q \mid n!</math> und <math>2^{\grave{q}} \nmid n!</math> für maximales <math>q \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math>. Damit ist <math>n! = 2^q(\hat{u} + 1)</math> für <math>u \in {}^{\omega} \mathbb{N}^{*}</math> und zwingend <math>n! = 2^q(2^{q-2} \pm 1)</math>. Die Primfaktorzerlegung von <math>n!</math> erfordert dann <math>n \le 7</math>, was die Behauptung ergibt.<math>\square</math>
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Setzt <math>b \in Q</math> das Minimalpolynom <math>p(a^b) = p(c^q)</math> auf 0, so liefert die Annahme <math>a^b = c^{q+\varepsilon}</math> mit maximalem <math>q \in Q_{>0}</math> den Widerspruch <math>0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square</math>
  
 
== Leseempfehlung ==
 
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[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
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== Einzelnachweise ==
 
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<references />
 
  
 
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Version vom 31. Juli 2023, 19:38 Uhr

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Sätze des Monats

Primzahlsatz

Für [math]\displaystyle{ \pi(x) := |\{p \in {}^{\omega}{\mathbb{P}} : p \le x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}| }[/math] gilt [math]\displaystyle{ \pi(\omega) = \widetilde{{_e}\omega}\omega + \mathcal{O}({_e}\omega{\omega}^{\tilde{2}}) }[/math].

Beweis:

Im Sieb des Eratosthenes nehmen die Primzahlanzahlen nahezu regelmäßig ab. Aus Intervallen fester Länge [math]\displaystyle{ y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{>0}} }[/math] lassen sich [math]\displaystyle{ \hat{y} }[/math] Mengen-2-Tupel von Primzahlen so bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.

Ist mit Induktionsanfang [math]\displaystyle{ n }[/math] = 2 bzw. 3 die Induktionsannahme, dass mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}} }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ x_4 \in [2, 4[ }[/math] das erste Intervall [math]\displaystyle{ x_n/{_e}x_n }[/math] Primzahlen enthält, so beweist die Betrachtung der Primzahllücken von primen [math]\displaystyle{ p\# /q + 1 }[/math] mit [math]\displaystyle{ p, q \in {}^{\omega}\mathbb{P} }[/math] im Induktionsschritt von [math]\displaystyle{ x_n }[/math] nach [math]\displaystyle{ x_n^2 }[/math], dass sich dann [math]\displaystyle{ \pi(x_n^2) = \pi(x_n) \check{x}_n }[/math] Primzahlen nur aus [math]\displaystyle{ \pi(x_n) = x_n/{_e}x_n }[/math] ergeben. Der durchschnittliche Primzahlabstand beträgt [math]\displaystyle{ {_e}x_n }[/math] und die maximale Entsprechung von [math]\displaystyle{ x_n^2 }[/math] zu [math]\displaystyle{ x_n }[/math] ist [math]\displaystyle{ \omega }[/math] zu [math]\displaystyle{ {\omega}^{\tilde{2}}.\square }[/math]

Satz von Gelfond-Schneider

Mit [math]\displaystyle{ a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q }[/math] gilt [math]\displaystyle{ a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C} }[/math].

Beweis:

Setzt [math]\displaystyle{ b \in Q }[/math] das Minimalpolynom [math]\displaystyle{ p(a^b) = p(c^q) }[/math] auf 0, so liefert die Annahme [math]\displaystyle{ a^b = c^{q+\varepsilon} }[/math] mit maximalem [math]\displaystyle{ q \in Q_{\gt 0} }[/math] den Widerspruch [math]\displaystyle{ 0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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