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(Größte-Primzahl-Kriterium und Transzendenz der Eulerschen Konstante)
(Satz von Gelfond-Schneider, Drei-Kuben-Satz und Satz von Fickett)
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Größte-Primzahl-Kriterium ===
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=== Satz von Gelfond-Schneider ===
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Hat eine reelle Zahl bei gekürzten Brüchen die Darstellung <math>\widetilde{ap}b \pm \tilde{s}t</math> mit natürlichen <math>a, b, s</math> und <math>t, abst \ne 0</math> und <math>a + s &gt; 2</math> sowie der (zweit-) größten Primzahl <math>p \in {}^{\omega }\mathbb{P}, p \nmid b</math> und <math>p \nmid s</math>, so ist sie <math>\omega</math>-transzendent.
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Mit <math>a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q :=  {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R}</math> und <math>b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q</math> gilt <math>a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}:</math>
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Der Nenner von <math>\widetilde{aps} (bs \pm apt)</math> ist <math>\ge \hat{p} \ge \hat{\omega} - \mathcal{O}({_e}\omega{\omega}^{\tilde{2}}) &gt; \omega</math> aufgrund des Primzahlsatzes.<math>\square </math>
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Setzt <math>b \in Q</math> das Minimalpolynom <math>p(a^b) = p(c^q)</math> auf 0, so liefert die Annahme <math>a^b = c^{q+\varepsilon}</math> mit maximalem <math>q \in Q_{&gt;0}</math> den Widerspruch <math>0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square</math>
  
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=== Transzendenz der Eulerschen Konstante ===
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=== Drei-Kuben-Satz ===
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Mit <math>s(x) := {+}_{n=1}^{\omega}{\tilde{n}{{x}^{n}}}</math> für <math>x \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> sei die Eulersche Konstante <math>\gamma := s(1) - {_e}\omega = {\uparrow}_{1}^{\omega}{\left( \widetilde{\left\lfloor x \right\rfloor} - \tilde{x} \right)\downarrow x}</math>, wobei Umsummieren <math>\gamma \in \; ]0, 1[</math> zeigt.
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Drei-Kuben-Satz: Es gilt <math>S := \{n \in \mathbb{Z} : n \ne \pm 4\mod 9\} = \{n \in \mathbb{Z} : n = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)c(a - b + c) = (a + c)^3 + (b - c)^3 + c^3\} \subset a^3 + b^3 + c^3 + 6{\mathbb{Z}}</math>, da unabhängige vollständige Induktion nach den gleichberechtigten Variablen <math>a, b, c \in {\mathbb{Z}}</math> zunächst <math>\{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\} \subset S</math> zeigt und dann die Behauptung.<math>\square</math>
  
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Wird <math>{_e}\omega = s(\tilde{2})\;{_2}\omega</math> akzeptiert, so gilt <math>\gamma \in {}^{\omega }\mathbb{T}_{\mathbb{R}}</math> auf <math>\mathcal{O}({2}^{-\omega}\tilde{\omega}\;{_e}\omega)</math> genau.
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=== Satz von Fickett ===
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Für jede Lage zweier überlappender kongruenter <math>n</math>-Quader <math>Q</math> und <math>R</math> mit <math>n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, \grave{m} := \hat{n}</math> und dem exakten Standardmaß <math>\mu</math> gilt, wobei <math>\mu</math> für <math>n = 2</math> die euklidische Weglänge <math>A</math> ist:
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<div style="text-align:center;"><math>\tilde{m} &lt; r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) &lt; m.</math></div>
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Die exakte Integration macht <math>-{_e}(-\acute{x}) = s(x) + \mathcal{O}(\tilde{\omega}{x}^{\grave{\omega}}/\acute{x}) + t(x)dx</math> für <math>x \in [-1, 1 - \tilde{\nu}]</math> und <math>t(x) \in {}^{\omega }{\mathbb{R}}</math> aus der geometrischen Reihe.
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Das zugrundeliegende Extremalproblem hat sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen <math>s</math> und <math>s + \hat{\iota}</math>. Mit <math>q := 3 - \hat{\iota}\tilde{s}</math> gilt min <math>r = \tilde{q} \le r \le</math> max <math>r = q</math>. Der Beweis für <math>n &gt; 2</math> verläuft analog.<math>\square</math>
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Wird der kleine fermatsche Satz auf den Zähler von <math>\tilde{p}(1 - 2^{-p}\,{_2}\omega)</math> für <math>p = \max \, {}^{\omega}\mathbb{P}</math> angewandt, liefert das Größte-Primzahl-Kriterium die Behauptung.<math>\square</math>
 
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
  

Version vom 1. November 2023, 05:43 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Satz von Gelfond-Schneider

Mit [math]\displaystyle{ a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R} }[/math] und [math]\displaystyle{ b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q }[/math] gilt [math]\displaystyle{ a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}: }[/math]

Beweis:

Setzt [math]\displaystyle{ b \in Q }[/math] das Minimalpolynom [math]\displaystyle{ p(a^b) = p(c^q) }[/math] auf 0, so liefert die Annahme [math]\displaystyle{ a^b = c^{q+\varepsilon} }[/math] mit maximalem [math]\displaystyle{ q \in Q_{>0} }[/math] den Widerspruch [math]\displaystyle{ 0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square }[/math]

Drei-Kuben-Satz

Drei-Kuben-Satz: Es gilt [math]\displaystyle{ S := \{n \in \mathbb{Z} : n \ne \pm 4\mod 9\} = \{n \in \mathbb{Z} : n = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)c(a - b + c) = (a + c)^3 + (b - c)^3 + c^3\} \subset a^3 + b^3 + c^3 + 6{\mathbb{Z}} }[/math], da unabhängige vollständige Induktion nach den gleichberechtigten Variablen [math]\displaystyle{ a, b, c \in {\mathbb{Z}} }[/math] zunächst [math]\displaystyle{ \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\} \subset S }[/math] zeigt und dann die Behauptung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Satz von Fickett

Für jede Lage zweier überlappender kongruenter [math]\displaystyle{ n }[/math]-Quader [math]\displaystyle{ Q }[/math] und [math]\displaystyle{ R }[/math] mit [math]\displaystyle{ n \in {}^{\omega }\mathbb{N}_{\ge 2}, \grave{m} := \hat{n} }[/math] und dem exakten Standardmaß [math]\displaystyle{ \mu }[/math] gilt, wobei [math]\displaystyle{ \mu }[/math] für [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] die euklidische Weglänge [math]\displaystyle{ A }[/math] ist:

[math]\displaystyle{ \tilde{m} < r := \mu(\partial Q \cap R)/\mu(\partial R \cap Q) < m. }[/math]

Beweis:

Das zugrundeliegende Extremalproblem hat sein Maximum für Rechtecke mit den Seitenlängen [math]\displaystyle{ s }[/math] und [math]\displaystyle{ s + \hat{\iota} }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ q := 3 - \hat{\iota}\tilde{s} }[/math] gilt min [math]\displaystyle{ r = \tilde{q} \le r \le }[/math] max [math]\displaystyle{ r = q }[/math]. Der Beweis für [math]\displaystyle{ n > 2 }[/math] verläuft analog.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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