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(Hauptsätze der Analysis und Approximationssatz)
(Cauchyscher Integralsatz, Fundamentalsatz der Algebra und Newtonverfahren)
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Erster Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für <abbr title="Kurvenintegral">KI</abbr>e ===
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=== Cauchyscher Integralsatz ===
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Die Funktion <math>F(z)={\uparrow}_{\gamma }{f(\zeta ){\downarrow}\zeta }</math> ist mit <math>\gamma: [d, x[ \, \cap \, C \rightarrow A \subseteq {}^{(\omega)}\mathbb{K}, C \subseteq \mathbb{R}, f: A \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}, d \in G = [a, b[ \, \cap \, C</math> bei Wahl von <math>{}^\curvearrowright \gamma(x) = \gamma({}^\curvearrowright x)</math> exakt differenzierbar und es gilt für alle <math>x \in G</math> und <math>z = \gamma(x)</math>
 
  
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Für die Nachbarschaftsrelationen <math>B \subseteq {D}^{2}</math> und <math>A \subseteq [a, b]</math> mit <math>h</math>-Gebiet <math>D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>, infinitesimalem <math>h</math> sowie <math>f \in \mathcal{O}(D)</math> und <abbr title="geschlossener Weg">GW</abbr> <math>\gamma: [a, b[\rightarrow \partial D</math> bei Wahl von <math>{}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t)</math> mit <math>t \in [a, b[</math>, gilt
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<div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}=0.</math></div>
  
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<div style="text-align:center;"><math>F^{\prime}(z) = f(z).</math></div>
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'''Beweis:''' Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit <math>x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f</math> und <math>{D}^{-} := \{z \in D : z + h + \underline{h} \in D\}</math>
  
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==== Beweis ====
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<div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}={\uparrow}_{\gamma }{\left( u+\underline{v} \right)\left( {\downarrow}x+{\downarrow}\underline{y} \right)}={\uparrow}_{z\in {{D}^{-}}}{\left( \left( \tfrac{{\downarrow} \underline{u}}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} \underline{v}}{{\downarrow} y} \right)-\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}+\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right) \right){\downarrow}(x,y)}=0.\square</math></div>
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<math>{\downarrow}F(z)</math> <math>={\uparrow}_{t\in [d,x] \cap C}{f(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}-{\uparrow}_{t\in [d,x[ \, \cap \, C}{f(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}</math> <math>={\uparrow}_{x}{f(\gamma (t))\tfrac{\gamma ({}^\curvearrowright t)-\gamma (t)}{{}^\curvearrowright t-t}{\downarrow}t}</math> <math>=f(\gamma (x)){{\gamma}^{\prime}}(x){\downarrow}x=</math> <math>\,f(\gamma (x))({}^\curvearrowright\gamma (x)-\gamma (x))</math> <math>=f(z){\downarrow}z.\square</math>
 
  
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=== Zweiter Hauptsatz der exakten Differential- und Integralrechnung für <abbr title="Kurvenintegral">KI</abbr>e ===
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=== Fundamentalsatz der Algebra ===
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Mit <math>\gamma: G \rightarrow {}^{(\omega)}\mathbb{K}</math> gilt wie oben vorausgesetzt
 
  
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Jedes nicht-konstante Polynom <math>p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> hat ein <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> mit <math>p(z) = 0</math>.
  
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<div style="text-align:center;"><math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))={\uparrow}_{\gamma }{{F^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.</math></div>
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'''Indirekter Beweis:''' Eine affin-lineare Variablensubstitution erreicht <math>\widetilde{p(0)} \ne \mathcal{O}(\iota)</math>. Die Annahme von <math>p(z) \ne 0</math> für alle <math>z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C}</math> ergibt für das holomorphe <math>f(z) := \widetilde{p(z)}</math> wegen <math>f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota)</math>.
  
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==== Beweis ====
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Aufgrund der Mittelwertungleichung <math>|f(0)| \le {|f|}_{\gamma}</math> gilt mit <math>\gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0)</math> und beliebigem <math>r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{&gt;0}</math> also <math>f(0) = \mathcal{O}(\iota)</math> im Widerspruch zur Voraussetzung.<math>\square</math>
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<math>F(\gamma (b))-F(\gamma (a))</math> <math>={+}_{t\in G}{F({}^\curvearrowright\,\gamma (t))}-F(\gamma (t))</math> <math>={+}_{t\in G}{{{F}^{\prime}}(\gamma (t))({}^\curvearrowright\,\gamma (t)-\gamma (t))}</math> <math>={\uparrow}_{t\in G}{{F^{\prime}}(\gamma (t)){{\gamma }^{\prime}}(t){\downarrow}t}</math> <math>={\uparrow}_{\gamma }{{F_{{}^\curvearrowright }^{\prime}}(\zeta ){\downarrow}\zeta }.\square</math>
 
  
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=== Approximationssatz ===
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=== Newtonverfahren ===
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Die Ableitungen <math>f^{(s)}(x) \in {}^{\omega}\mathbb{R}</math> für <math>x \in {}^{\omega}\mathbb{R}</math> erlauben die interpolierende Funktion <math>g(x) := {+}_{r=0}^{\acute{m}}{\chi_{]x_r, x_{\grave{r}}[}(x)((x_{\grave{r}}-x)p_r(x)+(x-x_r)p_{\grave{r}}(x))/(x_{\grave{r}}-x_r)}+{+}_{r=0}^m{\chi_{\{x_r\}}(x)p_r(x)}</math> für <math>m, n \in {}^{\nu}\mathbb{N}</math> und <math>p_r(x) := {+}_{s=0}^n{f^{(s)}(x_r){(x-x_r)}^s/s!}</math> in <math>\mathcal{O}(\sigma mn)</math> zu berechnen, wobei <math>f^{(s)}(x_r) = g^{(s)}(x_r)</math> für alle <math>x_r \in {}^{\omega}\mathbb{R}</math> gilt. Im Komplexen ist <math>{}^{\omega}\mathbb{R}</math> durch <math>{}^{\omega}\mathbb{C}</math> zu ersetzen und es gelte <math>x = \gamma(t) \in {}^{\omega}\mathbb{C}</math> für den Weg <math>\gamma(t)</math> mit <math>t \in {}^{\omega}\mathbb{R}.\square</math>
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Wird oben <math>f(\curvearrowright z)=f(z)+f^\prime(z){\downarrow}z=0</math> gefordert, so gilt <math>z_{\grave{n}} := z_n-{f^\prime(z_n)}^{-1}f(z_n)</math>, falls <math>{f^\prime(z_n)}^{-1}</math> invertierbar ist, mit quadratischer Konvergenz in der Nähe einer Nullstelle.<math>\square</math>
  
 
== Leseempfehlungen ==
 
== Leseempfehlungen ==

Version vom 31. Januar 2024, 16:57 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Cauchyscher Integralsatz

Für die Nachbarschaftsrelationen [math]\displaystyle{ B \subseteq {D}^{2} }[/math] und [math]\displaystyle{ A \subseteq [a, b] }[/math] mit [math]\displaystyle{ h }[/math]-Gebiet [math]\displaystyle{ D \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math], infinitesimalem [math]\displaystyle{ h }[/math] sowie [math]\displaystyle{ f \in \mathcal{O}(D) }[/math] und GW [math]\displaystyle{ \gamma: [a, b[\rightarrow \partial D }[/math] bei Wahl von [math]\displaystyle{ {}^\curvearrowright \gamma(t) = \gamma({}^\curvearrowright t) }[/math] mit [math]\displaystyle{ t \in [a, b[ }[/math], gilt

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}=0. }[/math]

Beweis: Aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und des Satzes von Green gilt mit [math]\displaystyle{ x := \text{Re} \, z, y := \text{Im} \, z, u := \text{Re} \, f, v := \text{Im} \, f }[/math] und [math]\displaystyle{ {D}^{-} := \{z \in D : z + h + \underline{h} \in D\} }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_{\gamma }{f(z){\downarrow}z}={\uparrow}_{\gamma }{\left( u+\underline{v} \right)\left( {\downarrow}x+{\downarrow}\underline{y} \right)}={\uparrow}_{z\in {{D}^{-}}}{\left( \left( \tfrac{{\downarrow} \underline{u}}{{\downarrow} x}-\tfrac{{\downarrow} \underline{v}}{{\downarrow} y} \right)-\left( \tfrac{{\downarrow} v}{{\downarrow} x}+\tfrac{{\downarrow} u}{{\downarrow} y} \right) \right){\downarrow}(x,y)}=0.\square }[/math]

Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nicht-konstante Polynom [math]\displaystyle{ p \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] hat ein [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ p(z) = 0 }[/math].

Indirekter Beweis: Eine affin-lineare Variablensubstitution erreicht [math]\displaystyle{ \widetilde{p(0)} \ne \mathcal{O}(\iota) }[/math]. Die Annahme von [math]\displaystyle{ p(z) \ne 0 }[/math] für alle [math]\displaystyle{ z \in {}^{(\omega)}\mathbb{C} }[/math] ergibt für das holomorphe [math]\displaystyle{ f(z) := \widetilde{p(z)} }[/math] wegen [math]\displaystyle{ f(\tilde{\iota}) = \mathcal{O}(\iota) }[/math].

Aufgrund der Mittelwertungleichung [math]\displaystyle{ |f(0)| \le {|f|}_{\gamma} }[/math] gilt mit [math]\displaystyle{ \gamma = \partial\mathbb{B}_{r}(0) }[/math] und beliebigem [math]\displaystyle{ r \in {}^{(\omega)}\mathbb{R}_{>0} }[/math] also [math]\displaystyle{ f(0) = \mathcal{O}(\iota) }[/math] im Widerspruch zur Voraussetzung.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Newtonverfahren

Wird oben [math]\displaystyle{ f(\curvearrowright z)=f(z)+f^\prime(z){\downarrow}z=0 }[/math] gefordert, so gilt [math]\displaystyle{ z_{\grave{n}} := z_n-{f^\prime(z_n)}^{-1}f(z_n) }[/math], falls [math]\displaystyle{ {f^\prime(z_n)}^{-1} }[/math] invertierbar ist, mit quadratischer Konvergenz in der Nähe einer Nullstelle.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlungen

Nichtstandardmathematik

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