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(Intexverfahren)
(Darstellungssätze für Integrale und Ableitungen)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Satz des Monats ==
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== Sätze des Monats ==
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Das Intexverfahren löst jedes lösbare LP in <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{3})</math>.
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=== Definition ===
  
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== Beweis und Algorithmus ==
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Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf dem Gebiet <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>  mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*)</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math>
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Zuerst werden <math>{b}^{T}y - {c}^{T}x \le 0, Ax \le b</math> sowie <math>{A}^{T}y \ge c</math> normiert und skaliert. Die <em>Höhe</em> <math>h</math> habe den Startwert <math>h_0 := s |\min \; \{b_1, ..., b_m, -d_1, ..., -d_n\}|</math> mit dem <em>Steigerungsfaktor</em> <math>s \in \, ]1, 2]</math>.</br>
 
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Das LP min <math>\{h \in [0, h_0] : x \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}, y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m},{b}^{T}y - {c}^{T}x \le h, Ax - b \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, c - {A}^{T}y \le (h, ..., h)^T \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{n}\}</math> hat <math>k</math> Restriktionen und den zulässigen inneren Startpunkt <math>(x_0, y_0, h_0/s)^{T} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m+n+1}</math>, z. B. <math>(0, 0, h_0/s)^{T}</math>. Es identifiziert die zueinander dualen LPs max <math>\{{c}^{T}x : c \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{n}, x \in {P}_{\ge 0}\}</math> und min <math>\{{b}^{T}y : y \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}^{m}, {A}^{T}y \ge c\}</math>.
 
  
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Der Punkt <math>p := (x, y, h)^T</math> approximiere den Schwerpunkt des Teilpolytops <math>P^*</math> zu <math>p_k^* := (\min p_k + \max p_k)/2</math>, bis <math>{|| \Delta p ||}_{1}</math> hinreichend klein ist. Hier hat <math>x</math> Vorrang vor <math>y</math>. Dann wird <math>p</math> über <math>{p}^{*}</math> in <math>\partial P^*</math> als <math>u</math> extrapoliert. Mit <math>p := p^* + (u - p^*)/s</math> wird <math>\partial P^*</math> gemieden. Darauf wird <math>p</math> tiefer erneut als Schwerpunkt approximiert. Nach optionalem Lösen aller LPs min<math>{}_{k} {h}_{k}</math> durch Bisektionsverfahren für <math>{h}_{k} \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> in jeweils <math>\mathcal{O}({\vartheta}^{2})</math> lässt sich <math>v \in {}^{\omega}\mathbb{R}^{k}</math> mit <math>v_k := \Delta{p}_{k} \Delta{h}_{k}/r</math> und <math>r :=</math> min<math>{}_{k} \Delta{h}_{k}</math> ermitteln. Vereinfacht sei <math>|\Delta{p}_{1}| = ... = |\Delta{p}_{m+n}|</math>.
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=== Darstellungssatz für Integrale ===
  
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Hierbei wäre min <math>{h}_{m+n+1}</math> für <math>p^* := p + tv</math> mit <math>t \in {}^{\omega}\mathbb{R}_{\ge 0}</math> und <math>{v}_{m+n+1} = 0</math> ebenso zu lösen. Folgt min<math>{}_{k} {h}_{k} r = 0</math>, wird aufgehört, andernfalls wiederholt, bis min <math>h = 0</math> oder min <math>h &gt; 0</math> feststeht.</br>
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Die Taylorreihe (s. u.) <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergibt mit <math>\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square</math></div>
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Falls erforderlich werden die Restriktionen vorübergehend um einen gleichen kleinen Betrag abgeschwächt. Da fast jeder Durchlauf <math>h</math> in <math>\mathcal{O}({\omega\vartheta}^{2})</math> wenigstens halbiert, liefert der starke Dualitätssatz die Behauptung.<math>\square</math>
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=== Darstellungssatz für Ableitungen ===
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Mit <math>{}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>\varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{&gt;0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}.</math></div>
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==== Beweis: ====
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Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math>
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== Einzelnachweis ==
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<references />
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==
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[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
 
[https://de.calameo.com/books/00377797710a3d3e2cb97 Nichtstandardmathematik]
  
 
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Version vom 31. März 2024, 22:58 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*) }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ {}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Einzelnachweis

  1. ↑ Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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