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(Primzahlsatz und Satz von Gelfond-Schneider)
(Darstellungssätze für Integrale und Ableitungen)
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= Willkommen bei MWiki =
 
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== Sätze des Monats ==
 
== Sätze des Monats ==
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=== Primzahlsatz ===
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=== Definition ===
  
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Für <math>\pi(x) := |\{p \in {}^{\omega}{\mathbb{P}} : p \le x \in {}^{\omega}{\mathbb{R}}\}|</math> gilt <math>\pi(\omega) = \widetilde{{_e}\omega}\omega + \mathcal{O}({_e}\omega{\omega}^{\tilde{2}})</math>.
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Seien <math>f_n^*(z) = f(\eta_nz)</math> die <em>Schwestern</em> zur Taylorreihe <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf dem Gebiet <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math>  mit <math>m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}</math> und <math>\eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}}</math> sowie <math>\delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*)</math> die <em>halben Schwesterabstände</em> von <math>f</math>. Mit <math>\mu_n^m := m!n!/(m + n)!</math> bilden <math>\mu</math> und <math>\eta</math> einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.<math>\triangle</math>
  
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==== Beweis: ====
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=== Darstellungssatz für Integrale ===
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Im Sieb des Eratosthenes nehmen die Primzahlanzahlen nahezu regelmäßig ab. Aus Intervallen fester Länge <math>y \in {}^{\omega}{\mathbb{R}_{&gt;0}}</math> lassen sich <math>\hat{y}</math> Mengen-2-Tupel von Primzahlen so bilden, dass das erste Intervall eine unveränderte repräsentative Primzahldichte hat und das zweite Intervall leer ist, dann auf ein Intervall mit den zweitmeisten eines mit den zweitwenigsten Primzahlen folgt usw.
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Die Taylorreihe (s. u.) <math>f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D})</math> um 0 auf <math>\mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergibt mit <math>\grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^*</math><div style="text-align:center;"><math>{\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square</math></div>
  
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Ist mit Induktionsanfang <math>n</math> = 2 bzw. 3 die Induktionsannahme, dass mit <math>n \in {}^{\omega}{\mathbb{N}_{\ge2}}</math> und beliebigem <math>x_4 \in [2, 4[</math> das erste Intervall <math>x_n/{_e}x_n</math> Primzahlen enthält, so beweist die Betrachtung der Primzahllücken von primen <math>p\# /q + 1</math> mit <math>p, q \in {}^{\omega}\mathbb{P}</math> im Induktionsschritt von <math>x_n</math> nach <math>x_n^2</math>, dass sich dann <math>\pi(x_n^2) = \pi(x_n) \check{x}_n</math> Primzahlen nur aus <math>\pi(x_n) = x_n/{_e}x_n</math> ergeben. Der durchschnittliche Primzahlabstand beträgt <math>{_e}x_n</math> und die maximale Entsprechung von <math>x_n^2</math> zu <math>x_n</math> ist <math>\omega</math> zu <math>{\omega}^{\tilde{2}}.\square</math>
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=== Darstellungssatz für Ableitungen ===
  
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=== Satz von Gelfond-Schneider ===
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Mit <math>{}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C}</math> ergeben die Taylorreihe<div style="text-align:center;"><math>f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}},</math></div><math>\varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}}</math> und der Konvergenzradius <math>r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{&gt;0}</math> von <math>f</math><div style="text-align:center;"><math>{{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}.</math></div>
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Mit <math>a, c \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C}^{*} \setminus \{1\}, Q := {}^{\omega} \mathbb{R} \setminus {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{R}</math> und <math>b, \varepsilon \in {}^{\omega} \mathbb{A}_\mathbb{C} \setminus Q</math> gilt <math>a^b \in {}^{\omega} \mathbb{T}_\mathbb{C}</math>.
 
  
 
==== Beweis: ====
 
==== Beweis: ====
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Setzt <math>b \in Q</math> das Minimalpolynom <math>p(a^b) = p(c^q)</math> auf 0, so liefert die Annahme <math>a^b = c^{q+\varepsilon}</math> mit maximalem <math>q \in Q_{>0}</math> den Widerspruch <math>0 = (p(a^b) - p(c^q)) / (a^b - c^q) = p^\prime(a^b) = p^\prime(c^q) \ne 0.\square</math>
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Satz von Taylor<ref name="Remmert">[[w:Reinhold Remmert|<span class="wikipedia">Remmert, Reinhold</span>]]: ''Funktionentheorie 1'' : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.</ref> und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.<math>\square</math>
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== Einzelnachweis ==
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<references />
  
 
== Leseempfehlung ==
 
== Leseempfehlung ==

Version vom 31. März 2024, 22:58 Uhr

Willkommen bei MWiki

Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*) }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ {}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor[1] und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Einzelnachweis

  1. ↑ Remmert, Reinhold: Funktionentheorie 1 : 3., verb. Aufl.; 1992; Springer; Berlin; ISBN 9783540552338, S. 165 f.

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik

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