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Sätze des Monats

Definition

Seien [math]\displaystyle{ f_n^*(z) = f(\eta_nz) }[/math] die Schwestern zur Taylorreihe [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf dem Gebiet [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] mit [math]\displaystyle{ m, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*} }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta_n^m := \underline{1}^{2^{\lceil m/n \rceil}} }[/math] sowie [math]\displaystyle{ \delta_n^*f = \tilde{2}(f - f_n^*) }[/math] die halben Schwesterabstände von [math]\displaystyle{ f }[/math]. Mit [math]\displaystyle{ \mu_n^m := m!n!/(m + n)! }[/math] bilden [math]\displaystyle{ \mu }[/math] und [math]\displaystyle{ \eta }[/math] einen eigenen auf Ebene der Taylorreihen auflösbaren Kalkül, der eine einfache und endliche geschlossene Darstellung von Integralen und Ableitungen erlaubt.[math]\displaystyle{ \triangle }[/math]

Darstellungssatz für Integrale

Die Taylorreihe (s. u.) [math]\displaystyle{ f(z) \in \mathcal{O}(\mathbb{D}) }[/math] um 0 auf [math]\displaystyle{ \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergibt mit [math]\displaystyle{ \grave{m}, n \in {}^{\omega}\mathbb{N}^* }[/math]

[math]\displaystyle{ {\uparrow}_0^z...{\uparrow}_0^{\zeta_2}{f(\zeta_1){\downarrow}\zeta_1\;...\;{\downarrow}\zeta_n} = \widetilde{n!} f(z\mu_n) z^n.\square }[/math]

Darstellungssatz für Ableitungen

Mit [math]\displaystyle{ {}^{\widetilde{\nu}}\dot{\mathbb{C}} \subset \mathbb{D} \subseteq {}^{\omega}\mathbb{C} }[/math] ergeben die Taylorreihe

[math]\displaystyle{ f(z):=f(0) + {\LARGE{\textbf{+}}}_{m=1}^{\omega }{\widetilde{m!}\,{{f}^{(m)}}(0){z^m}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon := \tilde{2}^j\tilde{r}, j \in {}^{\omega}\mathbb{Z}, n = \epsilon^{\sigma} \in {}^{\omega}\mathbb{N}^{*}, u :=\epsilon^{\tilde{n} \hat{\underline{\pi}}} }[/math] und der Konvergenzradius [math]\displaystyle{ r \in {}^{\nu}{\mathbb{R}}_{>0} }[/math] von [math]\displaystyle{ f }[/math]

[math]\displaystyle{ {{f}^{(n)}}(0)=2^{jn}\acute{n}!{\LARGE{\textbf{+}}}_{k=1}^{n}{\delta_n^* f(\tilde{2}^j u^k)}. }[/math]

Beweis:

Satz von Taylor und die Eigenschaften der Einheitswurzeln.[math]\displaystyle{ \square }[/math]

Leseempfehlung

Nichtstandardmathematik